股票问题通用解决办法

一、定义状态：
dp[i][k][0]表示第i天，至今还可以交易k次，未持有股票
dp[i][k][1]表示第i天，至今还可以交易k次，持有股票

二、状态转移与初始状态：

1. 通用状态转移
   dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
   即max( 选择保持 , 选择售卖股票)
   dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
   即max( 选择保持 , 选择购买股票)
   注：此处我定义的是每购买一次股票，k–；当然也可以定义每售卖一次股票，k–。

2. 只可以交易一次股票时状态转移方程
   dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
   dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])
   因为dp[i-1][0][0]表示当前未持有股票同时也不可以购买股票，它的值应该为0。这样一来，状态转移过程中，k全部为1，故可以化简为下面的情况
   dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
   dp[i][1] = max(dp[i-1][1], - prices[i])

初始状态：dp[0][0]=0,dp[0][1]=-prices[0];

3. 可以交易无穷次
   dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
   dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
   因为k取无穷大，因此k与k-1可以视作相同的数，故可以化简为
   dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
   dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]- prices[i])

初始状态：dp[0][0]=0,dp[0][1]=-prices[0];

4. 可以交易无穷次，但是有交易冷却期
   dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
   dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-2][k-1][0] - prices[i])
   化简为：
   dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
   dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0]- prices[i])

初始状态：dp[0][0]=0,dp[0][1]=-prices[0];

5. 可以交易无穷次，但是有交易手续费
   dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
   dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]- prices[i]-fee)

初始状态：dp[0][0]=0,dp[0][1]=-prices[0];

6. 只可以交易k次
   dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
   dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
   此处k值对状态转移的影响是无法消除的，因此在对i进行遍历更新状态时，也需要遍历更新k对应的状态

for (int i = 0; i < n; i++) 
        for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
            if (i - 1 == -1) { /* 处理 base case */ }
            dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
            dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);     
        }

初始状态：
dp[0][k][0]=dp[i][0][0]=0,
dp[0][k][1]=dp[i][0][1]=-prices[0];