拦截导弹 - 九度教程第 95 题

拦截导弹 - 九度教程第 95 题

题目

时间限制：1 秒 内存限制：32 兆 特殊判题：否
题目描述：
某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。
输入：
每组输入有两行，
第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量 k（k<=25），
第二行，输入 k 个正整数，表示 k 枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。
输出：
每组输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。
样例输入：
8
300 207 155 300 299 170 158 65
样例输出：
6
来源：
2007 年北京大学计算机研究生机试真题

由题意不难看出，要求最多能够拦截多少枚导弹，即在按照袭击顺序排列的导弹高度中求其最长不增子序列。所谓不增子序列，即子序列中排在前面的数字不比排在后面的数字小。求最长不增子序列的原理与求最长递增子序列的原理完全一致，只是递推关系相应的发生一些变化，递推关系如下：

#include <stdio.h>

int max(int a,int b){
    return a>b ? a : b;
}

int list[26];//按袭击事件顺序保存各导弹高度
int dp[26];//dp[i]保存以第i个导弹结尾的最长不增子序列长度

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&list[i]);
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            //按照袭击时间顺序确定每一个dp[i]
            int tmax=1;
            //最大值的初始值为1；
            //即以其结尾的最长不增子序列至少为1

            for(int j=1;j<i;j++){
                //遍历其前所有导弹高度
                if(list[j]>=list[i]){
                    //若j号导弹不比当前导弹低
                    tmax=max(tmax,dp[j]+1);
                    //将当前导弹排列在以j号导弹结尾的
                    //最长不增子序列之后，计算其长度dp[j]+1
                    //若大于当前最大值，则更新最大值
                }
            }
            dp[i]=tmax;//将dp[i]保存为最大值
        }

        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans=max(ans,dp[i]);
        }//找到以每一个元素结尾的最长不增子序列的最大值
        //该最大值即为答案

        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

其时间复杂度为 O（n*n），空间复杂度为 O(n)。由分析过程可知，最长递增子序列问题的求解思想，不仅可以用来解决单纯的最长递增子序列问题，也可以经过类比来求解其它大小关系确定的子序列最长长度。

最长递增子序列问题，是我们接触的第一个真正意义上的动态规划问题。
回顾它的特点：
首先，将这个问题分割成许多子问题，每个子问题为确定以第 i 个数字结束的递增子序列最长长度。
其次，这些子问题之间存在某种联系，以任意一个数字结束的递增子序列长度，与以排在该数字之前所有比它小的元素结尾的最长递增子序列长度有关，且仅与其数字量有关，而与其具体排列无关。
最后，规模较小的子问题是容易被确定的。于是，像递推求解一样，一步步求得每个子问题的答案，进而由这些答案推得后续子问题的答案。