数学问题 - %运算符

数学问题 - %运算符

%运算符称为求模运算符，通俗的讲即求一个数被另一个数除后剩余的余数。

%运算符的用法非常简单，用形如 a % b 的语句来调用该运算符。其中变量 a，b 必须为整型变量，例如 int、short 等，而不能为浮点数。且 b 变量必须为非零值，若出现模零错误，程序会因为该异常意外终止。在评判系统中表现为 评判系统给出了运行时错误，程序未运行完成就异常终止。所以若出现评判系统返回了运行时错误，可以试着检查是否可能出现模零错误。

以 a % b 语句为例，先不加说明的指出该运算的特点。其运算在行为上 好像是按如下步骤进行的，首先计算出 a 的绝对值被 b 的绝对值除所得的余数， 再使该余数的符号与 a 保持一致。
即若 a 为正数，则该表达式结果必为非负数（可 能为 0）；若 a 为负数，则表达式结果必为非正数（可能为 0）。
而表达式结果与 b 的符号没有直接关系，即 a % -b 与 a % b 的结果相同。

通过求模运算符求得的余数存在着负数的可能。而这与数论中关于余数的定义是不相符的。数论指出，余数的取值范围为从 0 到除数减 1，即在 a % b 表达式中，其符合数论规定的的结果取值范围应是 0 到 b - 1。
%运算符 的运算特性仅保证余数的绝对值在如上所述的范围内，而不保证不会出现负数， 出现负余数也为下一步操作带来诸多不便。
如利用求模运算来计算数组下标，而负数组下标是不能使用的。那么必须保证表达式求得的余数在数论定义的区间范围内，只需在该负的余数上再加上除数再对除数求一次余即可。

r = a % b
a = k * b + r

r 即为要求的余数，它是由第一式求得的。同时它应符合第二式中关于余数的原始定义，即 a 将等于某个整数k与 b 的积再加上余数 r，由于 C/C++的% 算符特点，当 a 为负数时 r 很可能出现负数（或为 0），为了得到正确范围内 的余数，可以对该式作如下变形(这里假设 b 大于 0，否则取绝对值)：

a = ( k - 1) *  b + r + b 

若 r 非零，该式同样符合关于余数的相关定义，但是它的余数部分（r + b） 将不再为负数，而是落在之前讨论的、数论规定的范围[0,b-1]内，即由 0 至 b-1。而这个符合要求的新余数即为原负余数加上 b，正是利用该方法来使余数落入所需的区间内。但是读者还需特别注意，即使被除数为负数，余数也是有可能为 0 的（刚好整除），那么假如与对待其他负余数一样为其加上余 数以期其能够落入我们需要的区间内，这将会适得其反（将会使余数等于 b）。 所以可以统一的对取得的余数加上除数后再对该和求模，即：

r' = (r + b) % b

这样做，不仅能对可能出现的负余数做适当的修正，同时对出现的零和正余数也不会改变它们的值。 另外，顺便来看一下为什么在%运算中余数的值看起来好像与除数的符号无关。假设 b 为正数，利用 r = a % b求得的余数 r 将会满足 下式：

a = k * b + r

其中 r 绝对值的取值范围为从 0 到 b-1，其符号保持与 a 一致（除非 r 为 0）。 若此时，利用 r = a % -b来求得的余数 r’又会满足下式

a = k' * (-b) + r'

同样，其中 r 的绝对值取值范围为从 0 到 b-1，其符号保持与 a 一致。比较两式即能发现，当 k’ 等于-k 时两式成立，且 r’与 r 相同。所以用%运算符求得的余数看起来与除数的符号无关。

最后总结%运算的科学解释，以式r=a%b为例，其所求得的r满足a=k*b+r,其中k为某整数，r的绝对值范围为[0,|b|-1]，其符号与a保持一致，除非其为0。

(a*b)%c=(a%c*b%c)%c
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

利用如上规律可以有效避免大数求模中的溢出问题。