【C语言】递归实战——汉诺塔详解

主页链接： LSR的主页
专栏链接： 《C语言》

---

前言

关于递归知识的实践与掌握，以汉诺塔的形式展现，希望可以帮助到你。

---

一、汉诺塔问题介绍

汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个经典的递归问题，起源于印度古老传说。问题描述如下：

有 3 根柱子（通常标记为 A、B、C）和 n 个大小不同的圆盘，所有圆盘初始时按 “从小到大” 的顺序堆叠在 A 柱上（最小的在顶端，最大的在底端）。
目标是将所有圆盘从 A 柱移动到 C 柱，移动过程中需遵守两个规则：
每次只能移动 1 个圆盘；
任何时候，大盘子不能放在小盘子上面。

---

二、解决思路（递归思想）

1.终止条件

当只有 1 个圆盘（n=1）时，直接将其从 A 柱移到 C 柱即可。

2.递归步骤

对于 n 个圆盘，可分解为 3 步：

1. 先将 A 柱上的前 n-1 个圆盘借助 C 柱移动到 B 柱；
2. 再将 A 柱上剩下的第 n 个圆盘（最大的那个）直接移动到 C 柱；
3. 最后将 B 柱上的 n-1 个圆盘借助 A 柱移动到 C 柱。

通过这种递归分解，大问题被逐步简化为小问题，最终可完成所有圆盘的移动。
当只有 1 个圆盘时，问题极其简单：
直接将圆盘从源柱（A） 移动到目标柱（C） 即可，无需辅助柱（B）。
这是递归的终止条件—— 当问题简化到无法再分解时，直接给出解决方案。

---

假设有 2 个圆盘（1 号：小圆盘；2 号：大圆盘）：初始都在 A 柱，目标是移到 C 柱，B 为辅助柱。
此时问题可分解为 3 步，这 3 步正是 n=2 时递归逻辑的体现：

第一步：先将上面的 1 个圆盘（1 号）从 A 柱移到辅助柱 B（此时 B 临时作为目标柱，C 作为辅助）。
目的：腾出 A 柱最下面的大圆盘（2 号），让它能直接移到 C 柱。
第二步：将 A 柱剩下的大圆盘（2 号）直接从 A 移到目标柱 C。
这是最关键的一步 —— 因为此时 A 柱只有 2 号盘，且 C 柱为空，符合 “大盘在下” 的规则。
第三步：将临时放在 B 柱的 1 号圆盘，从 B 移到目标柱 C（此时 A 作为辅助柱）。
目的：让 1 号盘（小）放在 2 号盘（大）上面，完成所有圆盘的移动。

---

当有 3 个圆盘（1 号最小，3 号最大）时，问题更复杂，但分解思路与 n=2 一致 —— 先处理 “上面的 n-1 个圆盘”，再处理 “最大的圆盘”。

具体步骤可分解为 3 个阶段，每个阶段都是对 “n-1 个圆盘” 问题的复用：
阶段 1：将 A 柱的前 2 个圆盘（1 号、2 号）移到 B 柱（用 C 柱作为辅助）
这本质上是一个 “n=2” 的子问题：源柱是 A，目标柱是 B，辅助柱是 C。
移动过程与 n=2 时完全一致，只是目标柱从 C 换成了 B：
A→C（1 号） → A→B（2 号） → C→B（1 号）。

此时状态：A 柱只剩 3 号盘，B 柱有 1 号、2 号盘（1 号在上），C 柱空。
阶段 2：将 A 柱的最大圆盘（3 号）直接移到 C 柱
这是 “n=3” 问题的关键一步 —— 因为此时 A 柱只有 3 号盘，C 柱为空，且 3 号是最大的盘，移动后 C 柱底部是最大盘，符合规则。
移动：A→C（3 号）。

此时状态：A 柱空，B 柱有 1 号、2 号盘，C 柱有 3 号盘。
阶段 3：将 B 柱的 2 个圆盘（1 号、2 号）移到 C 柱（用 A 柱作为辅助）
这又是一个 “n=2” 的子问题：源柱是 B，目标柱是 C，辅助柱是 A。
移动过程同样复用 n=2 的逻辑：
B→A（1 号） → B→C（2 号） → A→C（1 号）。

此时状态：所有圆盘（1 号、2 号、3 号）按规则堆叠在 C 柱，完成任务。

---

3.最少移动次数

n 个圆盘的最少移动次数为
2 ^n −1（例如 3 个圆盘需要 7 次）。
n = 3 动图如下：

n = 4 动图如下：

---

三、通用逻辑：n个圆盘递归思想

从 n=1、n=2、n=3 的例子中，我们可以总结出通用的递归思路：
对于任意 n 个圆盘，要从源柱（from） 移到目标柱（to），借助辅助柱（temp），步骤为：

递归处理子问题 1：将 from 柱上的前 n-1 个圆盘，借助 to 柱移到 temp 柱。
（此时 temp 是 “临时目标柱”，to 是 “辅助柱”）
直接移动最大盘：将 from 柱上剩下的第 n 个圆盘（最大的那个）直接移到 to 柱。
（此时 from 柱只剩最大盘，to 柱可直接接收，无违反规则的风险）
递归处理子问题 2：将 temp 柱上的 n-1 个圆盘，借助 from 柱移到 to 柱。
（此时 temp 是 “源柱”，from 是 “辅助柱”，to 是最终目标柱）。

---

四、代码实现

#include <stdio.h>

/**
 * 汉诺塔递归函数
 * @param n：圆盘数量
 * @param from：源柱子（初始存放圆盘的柱子）
 * @param temp：辅助柱子（临时存放圆盘的柱子）
 * @param to：目标柱子（最终要移动到的柱子）
 */
void hanoi(int n, char from, char temp, char to) {
    // 终止条件：只有1个圆盘时，直接从源柱移到目标柱
    if (n == 1) {
        printf("将圆盘 %d 从 %c 移动到 %c\n", n, from, to);
        return;
    }
    
    // 步骤1：将n-1个圆盘从from移到temp（用to作为辅助）
    hanoi(n - 1, from, to, temp);
    
    // 步骤2：将第n个圆盘从from移到to
    printf("将圆盘 %d 从 %c 移动到 %c\n", n, from, to);
    
    // 步骤3：将n-1个圆盘从temp移到to（用from作为辅助）
    hanoi(n - 1, temp, from, to);
}

int main() {
    int n;
    printf("请输入汉诺塔的圆盘数量：");
    scanf("%d", &n);
    
    // 调用递归函数，初始柱子为A，辅助为B，目标为C
    hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
    
    return 0;
}

---

结果如下：

请输入汉诺塔的圆盘数量：3
将圆盘 1 从 A 移动到 C
将圆盘 2 从 A 移动到 B
将圆盘 1 从 C 移动到 B
将圆盘 3 从 A 移动到 C
将圆盘 1 从 B 移动到 A
将圆盘 2 从 B 移动到 C
将圆盘 1 从 A 移动到 C

---

总结

汉诺塔每一步的思想都遵循 “分解 - 解决 - 合并” 的递归逻辑：

分解：将 n 个圆盘的问题分解为两个 n-1 个圆盘的子问题和一个直接移动最大盘的步骤；
解决：通过递归解决 n-1 个圆盘的子问题（直到 n=1 时直接移动）；
合并：将子问题的解（n-1 个圆盘的移动）与最大盘的移动结合，完成 n 个圆盘的移动。

---