2018年3月18日训练日记

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#ACM #LCA

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数据结构：LCA

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本文深入讲解了LCA（最近公共祖先）算法的三种实现方法，包括tarjan算法、ST（RMQ）算法以及树上倍增算法，并提供了详细的代码示例。

500道题刚做了140道就开始做不动了。。。估计要凉。。。

还是先把LCA看完。。。（以下内容 by 路人黑的纸巾，写的十分详细）

LCA（Lowest Common Ancestors），即最近公共祖先

在一棵树上，两个节点的深度最浅的公共祖先就是LCA （自己可以是自己的祖先）

其实LCA的用途很广，我个人认为OI里用LCA最多的像是这样子的题：
给你一棵树（或者是一个图求完MST的树，这种会比较常见）和树上的两点，找出这两点之间的路径的最大值或最小值或其他东东

这时我们可以借助这两点的LCA作为中转点来轻松地解决这类题目

方法1：tarjan算法（离线）求LCA

方法2：ST（RMQ）算法（在线）求LCA

注意事项
dfs序的长度是2n−1，用dfsO(n)处理出r、deep和dfs序之后直接套上裸RMQ
~~（线段树？差不多的……别在意这个）~~
设f[i][j]表示dfs序中j~j+2^i-1的点当中，deep值最小的是哪个点即可

每次询问时间复杂度O(1)，完美

附大佬代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

int n,_n,m,s;//_n是用来放元素进dfs序里，最终_n=2n-1

struct EDGE
{
    int to;
    EDGE* las;
}e[1000001];//前向星存边

EDGE* last[500001];
int sx[1000001];//顺序，为dfs序
int f[21][1000001];//用于ST算法
int deep[500001];//深度
int r[500001];//第一次出现的位置

int min(int x,int y)
{
    return deep[x]<deep[y]?x:y;
}

void dfs(int t,int fa,int de)
{
    sx[++_n]=t;
    r[t]=_n;
    deep[t]=de;
    EDGE*ei;
    for (ei=last[t];ei;ei=ei->las)
        if (ei->to!=fa)
        {
            dfs(ei->to,t,de+1);
            sx[++_n]=t;
        }
}

int query(int l,int r)
{
    if (l>r)
    {
        //交换 
        l^=r;
        r^=l;
        l^=r;
    }
    int k=int(log2(r-l+1));
    return min(f[k][l],f[k][r-(1<<k)+1]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    int j=0,x,y;
    for (int i=1;i<n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        e[++j]={y,last[x]};
        last[x]=e+j;
        e[++j]={x,last[y]};
        last[y]=e+j;
    }
    dfs(s,0,0);
    //以下是ST算法
    for (int i=1;i<=_n;++i)f[0][i]=sx[i];
    int ni=int(log2(_n)),nj,tmp;
    for (int i=1;i<=ni;++i)
    {
        nj=_n+1-(1<<i);
        tmp=1<<i-1;
        for (j=1;j<=nj;++j)
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j+tmp]);
    }
    //以下是询问，对于每次询问，可以O(1)回答
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",query(r[x],r[y]));
    }
}

方法3：树上倍增找LCA

在hihocoder上的最近公共祖先一暴力都WA 已经绝望

昨晚的小白月赛。。。还行吧，按理说应该AK，只是卡特兰数卡了一点时间，最后俩题没来得及看，难度中等偏下。

目测做够500道基本不可能了。。。

但是还是要努力做啊。。。