[APC 001] -E Antennas on Tree

最新推荐文章于 2025-06-06 15:01:27 发布

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#DFS #动态规划 #探险 #Atcoder

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探讨在树形结构中，如何通过选取关键节点来最小化距离向量的维度，确保任意两点间的距离均可被区分。分析了奇数与偶数距离节点的区别，提出从度数大于等于3的节点开始深度优先搜索的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目翻译

有一棵 $n$ 个结点的树，边权均为 $1$ 。
选择 $k$ 个结点 ${x_1,x_2, ..., x_k\}$ 。
每个结点 $p$ 可以表示为一个 $k$ 维向量 ${dist(p, x_1), dist(p, x_2), ..., dist(p, x_k)\}$ 。
最小化 $k$ ，使得每个 $k$ 维向量互不相同。
$\le n \le 10^5$

输入输出格式

输入格式

第一行一个正整数 $n$ 。

以下 $n - 1$ 行，每行两个整数 $a_i,b_i$ ，表示编号为 $a_i$ 和 $b_i$ 的节点之间有一条边。

输出格式

一行一个整数，表示 $k$ 最小为多少。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

2
0 1

输出样例#2：

输入样例#3：

输出样例#3：

输入样例#4：

输出样例#4：

输入样例#5：

2
0 1

输出样例#5：

输入样例#6：

输出样例#6：

解题分析

可以发现，如果两个点的距离为奇数，那么显然是可以区分开的。

如果为偶数，那么设这两个点为 $a, b$ ，中点为 $c$ ，显然必须要存在一个 $x_i$ ，满足当以 $c$ 为根的时候， $x_i$ 和 $a$ 或 $b$ 在同一棵子树里。

换句话说，以任何一个点作为根的时候，都至多有一棵子树内部没有 $x_i$ 。

我们一遍 $D F S$ 就可以完成这个操作，但要注意的是，我们要考虑父节点方向是否有 $x_i$ ，这就很麻烦了。

于是我们从一个度数 $\ge 3$ 的节点开始 $D F S$ ，也就保证了父节点方向一定有 $x_i$ 。

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 100500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
int n;
std::vector <int> nex[MX];
IN void add(R int from, R int to) {nex[to].push_back(from);}
int dp[MX];
void DFS(R int now, R int fa)
{
	bool fir = false;
	for (auto i : nex[now])
	{
		if (i == fa) continue;
		DFS(i, now);
		dp[now] += dp[i];
		if (!dp[i]) fir ? dp[now]++ : fir = true;
	}
}
int main(void)
{
	in(n); int foo, bar, rt = -1;
	for (R int i = 1; i < n; ++i)
	in(foo), in(bar), add(foo, bar), add(bar, foo);
	for (R int i = 0; i < n; ++i) if (nex[i].size() > 2) {rt = i; break;}
	if (~rt) DFS(rt, -1), printf("%d", dp[rt]);
	else puts("1"); 
}