[BZOJ 2226] [Spoj 5971] LCMSum-优快云博客

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本文详细解析了求∑i=1nlcm(i,n)的算法，通过大力化公式推导，将问题转化为统计所有数的答案，实现O(nln(n))的复杂度，适用于洛谷、BZOJ、SPOJ等平台的竞赛题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意翻译

求 $\sum_{i=1}^{n} \; lcm(i,n)$

$1\le T\le 300000, 1 \le n \le 1000000$

解题分析

大力化公式：
$\sum_{i=1}^{n}lcm(i,n) \\ =\sum_{i=1}^{n}\frac{in}{gcd(i,n)} \\ =\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d]\frac{in}{d} \\ =n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]i$
考虑后面那个式子，实际上就等于 $\frac{\phi(\frac{n}{d})\times\frac{n}{d}}{2}$ ，（ $\frac{n}{d}\ne 1$ ）因为和 $\frac{n}{d}$ 互质的的数是成对存在的，并且加起来正好为 $\frac{n}{d}$ 。

因此我们直接 $O (n l n (n))$ 统计所有数的答案， $O (1)$ 回答即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 1000500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
int pcnt;
int pri[MX], phi[MX];
ll val[MX], ans[MX];
bool npr[MX];
void get()
{
	phi[1] = 1, val[1] = 1;
	R int i, j;
	ll tar;
	for (i = 2; i <= 1e6; ++i)
	{
		if (!npr[i]) pri[++pcnt] = i, phi[i] = i - 1, val[i] = 1ll * phi[i] * i / 2;
		for (j = 1; j <= pcnt; ++j)
		{
			tar = 1ll * i * pri[j];
			if (tar > 1e6) break;
			npr[tar] = true;
			if (!(i % pri[j]))
			{
				phi[tar] = phi[i] * pri[j];
				val[tar] = 1ll * phi[tar] * tar / 2;
				break;
			}
			phi[tar] = phi[i] * phi[pri[j]];
			val[tar] = 1ll * phi[tar] * tar / 2;
		}
	}
	for (R int i = 1; i <= 1e6; ++i)
	for (R int j = i; j <= 1e6; j += i)
	ans[j] += val[i];
}
int main(void)
{
	get(); int T, n;
	in(T);
	W (T--)
	{
		in(n);
		printf("%lld\n", ans[n] * n);
	}
}