递归与递推：钥匙计数之一

B - 钥匙计数之一

 HDU - 1438 

一把锁匙有N个槽，槽深为1，2，3，4。每锁匙至少有3个不同的深度且至少有1对相连的槽其深度之差为3。求这样的锁匙的总数。

Input

本题无输入

Output

对N>=2且N<=31，输出满足要求的锁匙的总数。

Sample Output

N=2: 0
N=3: 8
N=4: 64
N=5: 360
..
..
..
..
..
..
..

N=31: ...

注：根据Pku Judge Online 1351 Number of Locks或 Xi'an 2002 改编,在那里N<=16

【分析】

我做的时候没有将递归/递推的思想融进去，一直在想它排列组合的规律，而并没有将其中每一项与其前一项联系起来，因为我觉得这每一种情况增加一个“钥匙槽”得到的下一种情况需要重新考虑，太离散，实际上递推分情况考虑可以分析出来。

我们用a[i]来表示i个槽的满足要求的钥匙的总数。

则a[i]与a[i-1]之间有如下情况：

• 若前i-1个槽已经符合要求，则最后一个槽可以是1,2,3,4：a[i] = a[i-1]*4；
• 若前i-1个槽不符合要求，则分为两种情况：

1. i-1个槽里有相邻且相差为3的槽，则前i-1个槽里一定只有两种槽1和4，即1和4的全排列减去全为4和全为1的情况，那么第i个槽一定为3或2：a[i] = [2^(i-1)-2]*2； 
2. i-1个槽里没有相邻且相差为3的槽，要使i个槽符合要求，则前i-2个槽一定没有（1,4）或（4,1），且第i-1个槽一定是1或4，最后一个槽是4或1，前i-2个槽是所有情况4^(i-2)减去只有1和4的情况2^(i-2)，到此为止我们只剩前i-1个槽符合要求的钥匙数没有被剔除：a[i] = [4^(i-2)-2^(i-2)]*2-b[i-1]；

【代码】

#include<iostream>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    int i;
    ll temp,a[32],b[32];//b[i]记录以1 4结尾的数
    a[2]=0;
    a[3]=8;
    b[2]=0;
    b[3]=4;
    printf("N=2: 0\nN=3: 8\n");
    for(i=4;i<=31;i++)
    {
        a[i]=a[i-1]*4;//n-1已经合法
        a[i]+=(ll)(2*(pow(2,i-1)-2));//n-1序列全为1,4
        temp=((ll)pow(4,i-2)-(ll)pow(2,i-2))*2-b[i-1];//结尾为(1,4)且合法
        a[i]+=temp;
        b[i]=a[i-1]*2+temp;//n个序列,结尾为1,4且合法,加上n-1个序列且合法的一半(1或者4)
        printf("N=%d: %I64d\n",i,a[i]);
    }
    return 0;
}