刷题集(8)

原创已于 2025-09-27 14:47:35 修改 · 684 阅读

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#算法 #数据结构 #程序人生 #开发语言 #c++

于 2025-09-27 14:46:22 首次发布

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说明

zjn 有 n 块积木，每块积木的高度都相同，但是底面面积不同，第 ii块积木的底面面积为 wi

现在 zjn 用这些积木来搭一个 k层高的高塔，每一层只用一块积木，而为了高塔的稳定，对于相邻两层的积木来说，下层积木的底面面积必须是上层积木的两倍以上

现在 zjn 想知道，自己最多能搭几个 kk 层的高塔？

输入格式

第一行两个正整数 n,k，分别表示积木的块数，以及高塔的层数。

第二行 n 个正整数 w，分别表示每块积木的底面面积。

对于 30%的数据满足:n,k≤7

对于 100%的数据满足:2≤n≤2∗105,2≤k≤30,k≤n,1≤wi≤231

输出格式

输出一行一个整数，表示最多可搭建的高塔的个数。

样例

输入数据 1

9 3
6 1 11 4 8 7 2 18 3

输出数据 1

提示

其中一组方案，两个高塔分别是：{1 2 41 2 4},{3 7 183 7 18}

积木高塔问题思路

问题分析

我们需要用n块积木搭建尽可能多的k层高塔。每层使用一块积木，且相邻两层中，下层积木的底面面积必须至少是上层积木的两倍。目标是最大化高塔的数量。

算法选择

采用二分答案结合贪心匹配的策略：

二分答案：因为高塔数量t满足单调性（如果t可行，则小于t的值都可行；如果t不可行，则大于t的值都不可行）。t的可能范围是0到⌊n/k⌋。
贪心匹配：对于每个候选t，检查是否能搭建t个高塔。通过排序积木和贪心选择，确保每次使用最小的满足条件的积木，以最大化塔数。

步骤详解

排序积木：将积木按底面面积从小到大排序。这便于后续贪心匹配，因为小面积积木更适合作为顶层，大面积积木更适合作为底层。
二分查找t：
- 初始化左边界left = 0，右边界right = n // k。
- 当left ≤ right时：
  - 计算中间值mid = (left + right) // 2。
  - 检查是否能搭建mid个k层高塔（调用检查函数）。
  - 如果可行，则尝试更大的t（left = mid + 1）；否则，尝试更小的t（right = mid - 1）。
- 最终right是最大可行t。
检查函数（判断t是否可行）：
- 如果t=0，直接返回true。
- 初始化t个塔：选择前t个最小的积木作为每个塔的顶层（因为顶层面积小，更容易满足下层面积大的要求）。
- 逐层构建：对于第2层到第k层：
  - 将t个塔的当前顶层面积（即上一层的面积）排序，以便贪心匹配。
  - 从剩余积木中，为每个塔分配一个最小的满足条件（积木面积 ≥ 2 × 当前顶层面积）的积木。如果找不到足够的积木，则t不可行。
  - 成功分配后，更新每个塔的当前层积木。
- 如果所有层都分配成功，则t可行。

复杂度分析

时间复杂度：排序积木O(n log n)。二分查找O(log(n/k))，每次检查需要O(k × n)（因为每层需要遍历积木，k很小）。总复杂度O(n log n + k n log(n/k))，在n≤200,000和k≤30时可行。
空间复杂度：O(n)用于存储积木和临时塔信息。

关键点

贪心选择：每次为塔分配最小的满足条件的积木，以保留大面积积木用于后续层或其他塔，从而最大化塔数。
排序优化：积木排序后，贪心匹配可以高效进行，避免重复扫描。

这种思路确保了在大规模数据下高效求解，直接聚焦问题本质。

代码样例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=200010;
int n,k;
ll w[N];

bool check(int t)
{
	if(t==0) return true;
	vector<ll> v(t);
	for(int i=0; i<t; i++) v[i]=w[i];
	int j=t;
	for(int l=2; l<=k; l++)
	{
		sort(v.begin(),v.end());
		int cnt=0;
		for(int i=0; i<t; i++)
		{
			while(j<n&&w[j]<2*v[i]) j++;
			if(j<n)
			{
				v[i]=w[j];
				j++;
				cnt++;
			}
			else break;
		}
		if(cnt<t) return false;
	}
	return true;
}

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=0; i<n; i++) cin>>w[i];
	sort(w,w+n);
	int l=0,r=n/k,ans=0;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+(r-l)/2;
		if(check(mid))
		{
			ans=mid;
			l=mid+1;
		}
		else r=mid-1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

此代码仅供参考，请勿纯抄