向量范数与矩阵范数

最新推荐文章于 2021-10-16 18:19:08 发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LMJ15009207299/article/details/82350729
本文探讨了向量范数的两类——常数向量的范数和函数向量的范数，包括L0、L1范数的定义。同时，介绍了矩阵的范数，特别是p-范数的概念。

1、常数向量的范数

X=[x1,x2,...,xn]T X = [ x 1 , x 2 , . . . , x n ] T ,则：
（1） L0 L 0 范数(0范数)： X X 中非零元素的个数
（2） L1 L 1 范数（和范数/1范数）： X X 的所有元素的绝对值之和

||X||1=∑i=1n|xi|=|x1|+...+|xn| | | X | | 1 = ∑ i = 1 n | x i | = | x 1 | + . . . + | x n |

（3） L2 L 2 范数（Euclidean范数/Frobenius范数）： X X 中的所有元素的绝对值的平方的和的开方
||X||2=(|x1|2+...+|x
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向量范数和矩阵范数
Cachel Wood的博客
09-18 368
线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。非正式地说，一个向量的范数告诉我们一个向量有多大。 这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。 在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数 f 。向量范数要满足一些属性。 给定任意向量 x ，第一个性质说，如果我们按常数因子 α 缩放向量的所有元素，其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放： f(αx)=αf(x)f(\alpha x) = \alpha f(x)f(αx)=αf(x) 第二个性质是我们熟悉的三角不等式: f(x+y)≤f(x)
向量范数&&矩阵范数（norm）
m0_51139704的博客
01-02 1520
对于向量xy∈Rnxy∈Rn，以及满足1p1q1p1​q1​1的大于1的正实数ppp和qqq∑i1n∣xiyi∣≤∥x∥p∥y∥qi1∑n​∣xi​yi​∣≤∥x∥p​∥y∥q​∥x∥p∑i1n∣xi∣p1p∥x∥p​i1∑n​∣xi​∣pp1​是向量x\mathbf{x}x的ppp-范数。∥y。
1.2.向量范数与矩阵范数以及函数的可微性1
08-04
向量范数与矩阵范数是线性代数中的核心概念，它们在多个领域，如机器学习、信号处理和优化理论中发挥着重要作用。向量范数定义了向量长度的概念，而矩阵范数则扩展了这一概念到矩阵级别，衡量矩阵的影响程度。 1. *...
科学计算方法8（向量范数与矩阵范数）.ppt
09-21
本文将深入探讨向量范数与矩阵范数的概念、性质及其在科学计算中的应用。 向量范数是向量空间中的一个度量，用来衡量向量的大小。它基于我们对距离的直观理解，并将其推广到多维空间。在数学上，一个向量范数需要...
向量范数与矩阵范数PPT学习教案.pptx
10-02
矩阵范数与向量范数的相容性是指存在一个矩阵范数，使得对于任何矩阵 \( A \) 和向量 \( \mathbf{x} \)，有 \( ||A\mathbf{x}|| \leq ||A|| \cdot ||\mathbf{x}|| \)。这确保了矩阵操作下的向量范数变化不会超出特定...
范数-向量范数和矩阵范数
重点记录机器人和自动驾驶相关领域的技术，尤其是计算机视觉，视觉SLAM等，不仅有前言文献或必备算法的学习，也会有实际应用的点滴经验
01-04 1635
1 概括： 范数（norm）是数学中的一种基本概念，满足条件： 非负性 齐次性 三角不等式 它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。 范数包括向量范数和矩阵范数。 向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。 一种非严密的解释就是， 对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的 范数都可以来度量这个大小，...
向量与方阵的范数，基本概念及运算实例
03-21
向量范数与方阵范数的基本性质，与基本计算
求向量和矩阵的范数
Fan_nie的博客
09-20 1055
%求向量的1范数,2范数，无穷范数，负无穷范数 X=[1,2,-2,3]; %向量X的范数 X=[1 2 -2 3];X1=norm(X,2),X2=norm(X,2), Xw=norm(X,inf),Xfw=norm(X,-inf) %求矩阵的1范数，2范数，无穷范数，负无穷范数 A=[11,2,3,4;7,-2,-3,-4;0.1,0.2,0.3,0.5;5,7,8,9] %矩阵A的范数 A=...
矩阵篇（一）-- 向量范数与矩阵范数的认识
CarpeDiem
10-16 8038
在线性代数，函数分析等数学分支中，范数（Norm）是一个函数，其赋予某个向量空间（或矩阵）中的每个向量以长度或大小。对于零向量，另其长度为零。直观的说，向量或矩阵的范数越大，则我们可以说这个向量或矩阵也就越大。这里主要介绍向量范数中的0-范数、1-范数、2-范数、∞-范数，以及这些范数与距离之间的关系，最后引入矩阵范数。
向量范数与矩阵范数有什么区别？
最新发布
08-27
### 向量范数与矩阵范数的区别 向量范数和矩阵范数是数学中用于衡量向量和矩阵大小的重要概念，但它们的应用场景和意义有所不同。 向量范数用于度量向量空间中向量的大小或长度。它通过不同的方式（如欧几里得范数、L1范数等）来衡量向量的“长度”，从而反映向量的规模。例如，欧几里得范数衡量的是向量在欧几里得空间中的几何长度，而L1范数则衡量的是向量各分量绝对值的总和。这些范数可以帮助我们从不同的角度理解向量的大小[^1]。 矩阵范数则是用于衡量矩阵引起变化的大小。矩阵可以通过线性变换将一个向量映射到另一个向量，而矩阵范数则反映了这种变换的“强度”或“规模”。矩阵范数可以分为两类：一类是诱导范数，它是基于向量范数定义的，反映了矩阵对向量的影响；另一类是非诱导范数，它直接基于矩阵元素的大小进行定义。例如，诱导范数可以通过公式 $\|A\| = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}$ 来定义，其中 $\|x\|$ 是向量 $x$ 的范数，$\|Ax\|$ 是变换后的向量的范数。这表明矩阵范数与向量范数之间存在一定的协调性[^2]。 矩阵范数的具体计算方式包括诱导范数和非诱导范数。诱导范数通常与向量范数相容，例如当 $p=1$ 时，矩阵范数是各列元素绝对值之和的最大值；当 $p=2$ 时，矩阵范数是矩阵的最大奇异值；当 $p=\infty$ 时，矩阵范数是各行元素绝对值之和的最大值。非诱导范数则直接基于矩阵元素的大小，例如Frobenius范数是矩阵所有元素平方和的平方根[^4]。 为了更好地理解向量范数和矩阵范数的区别，可以通过编程计算它们。以下是一个使用Python和NumPy库计算向量范数和矩阵范数的示例： ```python import numpy as np # 计算向量范数 vector = np.array([3, 4]) vector_norm = np.linalg.norm(vector) # 默认为L2范数 print("Vector norm (L2):", vector_norm) # 计算矩阵范数 matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]]) matrix_norm_frobenius = np.linalg.norm(matrix, 'fro') # Frobenius范数 print("Matrix norm (Frobenius):", matrix_norm_frobenius) matrix_norm_2 = np.linalg.norm(matrix, 2) # L2范数（最大奇异值） print("Matrix norm (L2):", matrix_norm_2) ``` 这段代码展示了如何使用NumPy库计算向量和矩阵的不同范数，从而帮助理解它们的实际应用。
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