二分图最佳匹配---KM算法

Kuhn-Munkres算法流程：
　　(1)初始化可行顶标的值
　　(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止

引用：
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
　　
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
　　
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有不在交错树中的slack值都减去d。

以上都是摘别人的…
但是我对最后一点感到疑惑，为什么修改顶标后，要把所有的不在交错树中的slack值减去d，不减的话，就不行吗？
以下是我的看法：

首先，slack记录的是不在交错树上的边的min(A[i] + B[j] - w[i][j])，在dfs的时候，改动slack的地方是在，找到一条不是交错树上的边的时候。
不在交错树上的边，两个端点中，其中一个端点一定是在交错树上的X的点。但是Y的点就有两种情况，一种是在交错树上的，但是之前已经出现过了，这个时候，会更新一次slack
另一种是不在交错树上的，这时也会更新slack
最后，如果没有找到相应的增广路时，这时就会用所有不在交错树上的Y的最小slack去更新在交错树上的点了。

更新完后，再次出发寻找增广路时，会出现以下情况。
找到一条不属于交错树的边，但两端都属于交错树的，它的slack是不会改变的。另一种情况是，其中一端不属于交错树的，由于A的减小了，B的不变，导致了A[i] + B[j] - w[i][j]的变小，且刚好等于slack - d,所以上次找不到增广路后的更新就没必要更新那些不在交错树上的slack了

O(n^4)算法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 510

struct Kuhn_Munkres{
    int n, left[N], Lx[N], Ly[N], w[N][N];
    bool S[N], T[N];

    //修改顶标，每次修改顶标，要么直接找到增广路，要么是新增加两个点
    void update() {
        int a = 1 << 30;
        //修改的顶标为S集合中的，和T'集合，因为我们的目的是添加边，使得T'中的点尽量往T靠
        for (int i = 1; i <= n; i++) if (S[i])
            for (int j = 1; j <= n; j++) if (!T[j])
                a = min(a, Lx[i] + Ly[j] - w[i][j]);

        //将S集合的顶标减去a，T集合的顶标＋a，这样不会影响原来的匹配
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (S[i]) Lx[i] -= a;
            if (T[i]) Ly[i] += a;
        }
    }

    bool match(int i) {
        S[i] = true;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (Lx[i] + Ly[j] == w[i][j] && !T[j]) {
                T[j] = true;
                if (!left[j] || match(left[j])) {
                    left[j] = i;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    void KM() {
        //赋值，要满足Lx[x] + Ly[y] >= w[x, y],所以取Lx[i]为边的结点有i的最长边
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            Lx[i] = Ly[i] = left[i] = 0;
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                Lx[i] = max(Lx[i], w[i][j]);
        }

        //进行匹配
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            while (1) {
                //S记录的是X部分的被匹配的点，T记录的是Y部分以匹配的点
                for (int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0;
                if (match(i)) break;
                else update();
            }
        }
    }
}km;

O(n^3)算法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXNODE = 510;
typedef int Type;
const Type INF = 0x3f3f3f3f; //1e20

struct KM{
    int n, m;
    //邻接矩阵存储边
    Type g[MAXNODE][MAXNODE];
    Type Lx[MAXNODE], Ly[MAXNODE], slack[MAXNODE];
    //left[i]表示Y集的i所匹配的X集的位置，right[i]表示的是X集的i匹配的Y集的位置
    int left[MAXNODE], right[MAXNODE];
    bool S[MAXNODE], T[MAXNODE];

    void init(int n, int m) {
        this->n = n;
        this->m = m;
        memset(g, 0, sizeof(g));
    }

    void AddEdge(int u, int v, Type val) {
        g[u][v] += val;
    }

    bool dfs(int u) {
        S[u] = true;
        for (int v = 0; v < m; v++) {
            //如果已经在交错树中出现过了，更新的值也不会变
            if (T[v]) continue;
            Type tmp = Lx[u] + Ly[v] - g[u][v];
            if (!tmp) {
                T[v] = true;
                //如果该点还没有被匹配到，表示找到了一条增广链了，反之，继续增广下去
                if (left[v] == -1 || dfs(left[v])) {
                    left[v] = u;
                    right[u] = v;
                    return true;
                }
            }
            else slack[v] = min(slack[v], tmp);
        }
        return false;
    }

    void update() {
        Type a = INF;
        //找到Y集合的不在交错树上的点
        for (int i = 0; i < m; i++)
            if (!T[i]) a = min(a, slack[i]);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (S[i]) Lx[i] -= a;
        for (int j = 0; j < m; j++)
            if (T[j]) Ly[j] += a;
    }

    Type km() {
        memset(left, -1 ,sizeof(left));
        memset(right, -1, sizeof(right));
        memset(Ly, 0, sizeof(Ly));

        //初始化的时候，Lx初始化为最大的，Ly初始化为0，这样可以保证最优
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            Lx[i] = -INF;
            for (int j = 0; j < m; j++)
                Lx[i] = max(Lx[i], g[i][j]);
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //初始化slack，这样就能达到N^3的复杂度了
            for (int j = 0; j < m; j++) slack[j] = INF;

            while (1) {
                memset(S, 0, sizeof(S));
                memset(T, 0, sizeof(T));
                if (dfs(i)) break;
                update();
            }
        }
        Type ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            ans += g[i][right[i]];
        return ans;
    }
}km;

int main() {
    return 0;
}