hihocoder#1044 : 状态压缩（）

最新推荐文章于 2021-01-19 09:35:53 发布

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本文介绍了一个基于动态规划和状态压缩的算法，用于解决在火车车厢内清扫垃圾的问题，确保在不引起乘客不满的情况下，乘务员能清扫尽可能多的垃圾。通过定义状态转移方程，该算法能在限制条件下找到最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

小Hi和小Ho在兑换到了喜欢的奖品之后，便继续起了他们的美国之行，思来想去，他们决定乘坐火车前往下一座城市——那座城市即将举行美食节！

但是不幸的是，小Hi和小Ho并没有能够买到很好的火车票——他们只能够乘坐最为破旧的火车进行他们的旅程。

不仅如此，因为美食节的吸引，许多人纷纷踏上了和小Hi小Ho一样的旅程，于是有相当多的人遭遇到了和小Hi小Ho一样的情况——这导致这辆车上的人非常非常的多，以至于都没有足够的位置能让每一个人都有地方坐下来。

小Hi和小Ho本着礼让他们的心情——当然还因为本来他们买的就是站票，老老实实的呆在两节车厢的结合处。他们本以为就能够这样安稳抵达目的地，但事与愿违，他们这节车厢的乘务员是一个强迫症，每隔一小会总是要清扫一次卫生，而时值深夜，大家都早已入睡，这种行为总是会惊醒一些人。而一旦相邻的一些乘客被惊醒了大多数的话，就会同乘务员吵起来，弄得大家都睡不好。

将这一切看在眼里的小Hi与小Ho决定利用他们的算法知识，来帮助这个有着强迫症的乘务员——在不与乘客吵起来的前提下尽可能多的清扫垃圾。

小Hi和小Ho所处的车厢可以被抽象成连成一列的N个位置，按顺序分别编号为1..N，每个位置上都有且仅有一名乘客在休息。同时每个位置上都有一些垃圾需要被清理，其中第i个位置的垃圾数量为Wi。乘务员可以选择其中一些位置进行清理，但是值得注意的是，一旦有编号连续的M个位置中有超过Q个的位置都在这一次清理中被选中的话（即这M个位置上的乘客有至少Q+1个被惊醒了），就会发生令人不愉快的口角。而小Hi和小Ho的任务是，计算选择哪些位置进行清理，在不发生口角的情况下，清扫尽可能多的垃圾。

提示一：无论是什么动态规划，都需要一个状态转移方程！

提示二：好像什么不对劲？状态压缩哪里去了？

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为三个正整数N、M和Q，意义如前文所述。

每组测试数据的第二行为N个整数，分别为W1到WN，代表每一个位置上的垃圾数目。

对于100%的数据，满足N<=1000, 2<=M<=10,1<=Q<=M, Wi<=100

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示在不发生口角的情况下，乘务员最多可以清扫的垃圾数目。

样例输入

5 2 1
36 9 80 69 85

样例输出

大佬连接： https://blog.youkuaiyun.com/riba2534/article/details/86691332

/*
  对于任意的长度为m的区间，最多选q个
  题目m最大为10，使用状态压缩，1表示选择，0表示不选
  dp[i][j]定义为前i个选择为j的价值，j表示以第i个位置结尾的连续m个位置的选取状态
  例如m=3
  000
  001
  010
  011
  100
  101
  110
  111
  有8种状态
  比如dp[i][110]这个状态，可以由dp[i-1][111]和dp[i-1][011]转移而来。

  转移方程 ；
    如果选择这个位置：dp[i][j]=max(dp[i-1][j>>1],dp[i-1][(j>>1)|(1<<(m-1))])+w[i];加上此位置的价值

    如果不选这个位置：dp[i][j]=max(dp[i-1][j>>1],dp[i-1][(j>>1)|(1<<(m-1))]);不加

    j>>1   j右移一位相当于除2，在磁体中表示舍去此时m的最后一位状态。
    1<<(m-1)   1左移(m-1)位 即2的(m-1)次方  在此题中为m状态的第一个位置的状态

    dp[i-1][j>>1] 前一个m状态的第一位为0
    dp[i-1][(j>>1)|(1<<(m-1))] 前一个m状态的第一位为1

    位运算 |(或): 1|1=1  1|0=1  0|1=1  0|0=0 结论全为0才为0.
    位运算 &(与): 1&1=1  1&0=0  0&1=0  0&0=0 结论全为1才为1.
*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=997;
const int N=1e3+10;
using namespace std;
int w[N];
int dp[N][(1<<10)+5];
int gettao(int x)
{
    int cnt=0;
    while(x)
    {
        cnt++;
        x=x&(x-1);
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)//遍历m的最后的位置
    {
        for(int j = 0; j< (1<<m);j++)//枚举状态
        {
            if(gettao(j)>q)//如果m这个状态里面发1大于要求，则不能选
                continue;
            if(j&1)
               dp[i][j]=max(dp[i-1][j>>1],dp[i-1][(j>>1)|(1<<(m-1))])+w[i];
            else
               dp[i][j]=max(dp[i-1][j>>1],dp[i-1][(j>>1)|(1<<(m-1))]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)
        ans=max(ans,dp[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}