矩阵快速幂

最新推荐文章于 2025-06-01 00:01:08 发布

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本文深入探讨了矩阵快速幂这一高效算法，主要应用于大规模矩阵乘法中。通过递归和位运算，矩阵快速幂可以将计算复杂度降低到O(logn)。文中详细解释了算法的实现过程，并提供了实例解析，帮助读者理解和掌握这一技术。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*
   f(n)=3*f(n-1)+2*f(n-2);

   构造二维矩阵

   一：

   求转置矩阵
   f(n)  f(n-1)     f(n-1)  f(n-2)     3   1
                 =                  *
   (  )  (    )     (    )  (    )     2   0

   求初始矩阵

   f(n)    f(n-1)     3    1

   f(n-1)  f(n-2)     1    1

   此形势下 求值为 初始矩阵*转置矩阵
   
   转置矩阵A   初始矩阵B
   matrix a1,a2;

   b1=qpow(A,n-2);
   a1=multip(B,b1);注意这里一定要和上面对应


   二：

   求转置矩阵
   f(n)    (   )   3   2     f(n-1)  (    )
                 =        *
   f(n-1)  (   )   1   0     f(n-2)  (    )

   求初始矩阵

   f(n)    f(n-1)     3    1

   f(n-1)  f(n-2)     1    1

   此形势下 求值为 转置矩阵*初始矩阵
   
   转置矩阵A   初始矩阵B
   matrix a1,a2;

   b1=qpow(A,n-2);
   a1=multip(b1,B);注意这里一二区别

*/

/*
               矩阵快速幂
*/

/*

*/
/*
     F(n+1)=F(n)+2*F(n-1)+n^3+3*n^2+3*n+1

                                转置矩阵

     F(n+1)       F(n)          1 2 1 3 3 1

     F(n)         F(n-1)        1 0 0 0 0 0

     (n+1)^3      (n)^3         0 0 1 3 3 1

     (n+1)^2      (n)^2         0 0 0 1 2 1

     (n+1)        (n)           0 0 0 0 1 1

      1            1            0 0 0 0 0 1
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
//const long long mod=2147493647;
#define ll long long
using namespace std;
const long long  N=6;
#define mod 123456789
struct matrix
{
    long long a[N][N];
    matrix()
    {
         memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void init()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(long long i=0;i<N;i++)
        {
            a[i][i]=1;
        }
    }
};
matrix multip(matrix x,matrix y)
{//相乘
    matrix temp;
    for(long long i=0;i<N;i++)
    {
        for(long long j=0;j<N;j++)
        {
            for(long long k=0;k<N;k++)
            {
                temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]%mod+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}
matrix qpow(matrix M,long long k)
{//矩阵快速幂
    matrix temp;
    temp.init();
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            temp=multip(temp,M);
        }
            k>>=1;
            M=multip(M,M);
    }
    return temp;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        long long n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==1)
        {
            printf("1\n");
        }
        else if(n==2)
        {
            printf("2\n");
        }
        else
        {
            ll zhuanzhi[6][6]=
            {
                1,2,1,3,3,1,
                1,0,0,0,0,0,
                0,0,1,3,3,1,
                0,0,0,1,2,1,
                0,0,0,0,1,1,
                0,0,0,0,0,1,
            };

             matrix A,B;
             for(ll i=0;i<N;i++)
             {
                 for(ll j=0;j<N;j++)
                 {
                     B.a[i][j]=zhuanzhi[i][j];
                 }
             }
             A.a[0][0]=2;
             A.a[1][0]=1;
             //先是F(2)的值，然后是F(n)的值
             A.a[2][0]=8;
             A.a[3][0]=4;
             A.a[4][0]=2;
             A.a[5][0]=1;
             //根据F(n+1)=F(n)+2*F(n-1)+n^3+3*n^2+3*n+1;将n=2代入
             matrix p=qpow(B,n-2);
             matrix ans=multip(p,A);
             printf("%lld\n",ans.a[0][0]);
        }

    }
    return 0;
}