计算几何 (POJ1127 、 )

1. 判断线段是否相交

• 在不需求出交点，只需判断两条线段是否相交，可以使用 $1.快速排斥实验$ 和 $2.跨立实验$ 解决。
  参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/tengchongwei/article/details/72922056
• 需要求出交点的情况可以先判断是否平行。如果不平行，求直线 $L1（p1p2）$ 和 直线 $L2（q1q2）$ （其中 $p1、p2$ 为直线 $L1$ 的端点） 交点就利用公式 $$交点向量={\vec{p}}_1+({\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1)\ast \frac{({\vec{q}}_2-{\vec{q}}_1)\times ({\vec{q}}_1-{\vec{p}}_1)}{({\vec{q}}_2-{\vec{q}}_1)\times ({\vec{p}}_2-{\vec{p}}_1)}$$即可求出两条直线的交点坐标，再检查交点是否同时在两条线段上就行了。
  参考白书 ： P250

试验题目 $POJ1127$
题目链接： http://poj.org/problem?id=1127

题意： $n$ 根木棍，给出木棍坐标，询问两根木棍是否相交，间接连在一起也算相交。
分析： 这道题需要解决两个问题

1. 判断两根木棍是否相交
2. 间接相交如何判断

对于第一个问题，有上述两种方法解决。第二个问题可以使用并查集，但对于本题白书上给出了一种更好的解决方法— $Floyd算法$ ，将每个棍看成是一个点，相交的木棍间有边。那么点 $i$ 和点 $k$ 相连通，并且点 $k$ 和点 $j$ 相连通，则 $i$ 、$j$ 相连通，即 $i$ 、$j$ 木棍相交。

第一种方法 ：$1.快速排斥实验$ + $2.跨立实验$

// 不需求出交点，只需判断两条线段是否相交
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const double EPS = 1e-10;
const int MAXN = 300;

double add(double a, double b) {
	if(abs(a+b) < EPS*(abs(a) + abs(b))) return 0;
	return a+b;
}

// 二维向量结构体
struct P {
	double x, y;
	P() {}
	P(double x, double y) : x(x), y(y) {}
	P operator + (P p) {
		return P(add(x, p.x), add(y, p.y));
	}
	P operator - (P p) {
		return P(add(x, -p.x), add(y, -p.y));
	}
	P operator * (double d) {
		return P(x*d, y*d);
	}	
	// 内积，点乘
	double dot(P p) {
		return add(x*p.x, y*p.y);
	} 
	// 外积，叉乘
	double det(P p) {
		return add(x*p.y, -y*p.x);
	}
};

struct Line {
	P p1, p2;
};

// 不需求出交点，只需判断两条线段是否相交
bool seg_inter(Line L1, Line L2) {
	// 快速排斥实验
	if( min(L1.p1.x, L1.p2.x) > max(L2.p1.x, L2.p2.x) ||
		min(L2.p1.x, L2.p2.x) > max(L1.p1.x, L1.p2.x) ||
		min(L1.p1.y, L1.p2.y) > max(L2.p1.y, L2.p2.y) ||
		min(L2.p1.y, L2.p2.y) > max(L1.p1.y, L1.p2.y) ) return false;
	// 跨立实验
	if( (L1.p1-L2.p1).det(L2.p2-L2.p1) * (L1.p2-L2.p1).det(L2.p2-L2.p1) <= 0 &&
		(L2.p1-L1.p1).det(L1.p2-L1.p1) * (L2.p2-L1.p1).det(L1.p2-L1.p1) <= 0 ) return true;
	else return false;
}

int n, l, r;
bool g[MAXN][MAXN];
Line L[MAXN];
void solve() {
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		g[i][i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			g[i][j] = g[j][i] = seg_inter(L[i], L[j]);
		}
	}
	// Floyd 判断任意两点间是否相连
	for (int k = 0; k < n; ++k) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			for (int j = 0; j < n; ++j) {
				g[i][j] |= (g[i][k] & g[k][j]);
			}
		}
	}
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	while(scanf("%d", &n) && n != 0) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
            // cin>>L[i].p1.x>>L[i].p1.y>>L[i].p2.x>>L[i].p2.y;
			// scanf 对输入严格按照地址，非常严格。
			scanf("%lf%lf%lf%lf", &L[i].p1.x, &L[i].p1.y, &L[i].p2.x, &L[i].p2.y);
		}		
		solve();
		while(scanf("%d%d", &l, &r)) {
			if(l == 0 && r == 0) break;
			puts(g[l-1][r-1] ? "CONNECTED" : "NOT CONNECTED");
		}
	}
	return 0;
}

第二种方法： 求出交点，判断是否在两条线段上。

// 能求出交点
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const double EPS = 1e-10;
const int MAXN = 300;

double add(double a, double b) {
	if(abs(a+b) < EPS*(abs(a) + abs(b))) return 0;
	return a+b;
}

// 二维向量结构体
struct P {
	double x, y;
	P() {}
	P(double x, double y) : x(x), y(y) {}
	P operator + (P p) {
		return P(add(x, p.x), add(y, p.y));
	}
	P operator - (P p) {
		return P(add(x, -p.x), add(y, -p.y));
	}
	P operator * (double d) {
		return P(x*d, y*d);
	}	
	// 内积，点乘
	double dot(P p) {
		return add(x*p.x, y*p.y);
	} 
	// 外积，叉乘
	double det(P p) {
		return add(x*p.y, -y*p.x);
	}
};

struct Line {
	P p1, p2;
};

// 判断点 q 是否在线段 p1-p2 上
bool on_seg(Line L, P q) {
	return (L.p1-q).det(L.p2-q) == 0 && (L.p1-q).dot(L.p2-q) <= 0;
}

// 计算直线 p1-p2 与 直线 q1-q2 的交点
P intersec(Line L1, Line L2) {
	return L1.p1 + (L1.p2-L1.p1) * ((L2.p2-L2.p1).det(L2.p1-L1.p1) / (L2.p2-L2.p1).det(L1.p2-L1.p1));
}

int n;
Line L[MAXN];
bool g[MAXN][MAXN];
void solve() {
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		g[i][i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			// 判断木棍 i 和 j 是否有公共点
			if((L[i].p2-L[i].p1).det(L[j].p2-L[j].p1) == 0) {
				// 平行
				g[i][j] = g[j][i] = on_seg(L[i], L[j].p1) 
								 || on_seg(L[i], L[j].p2)
								 || on_seg(L[j], L[i].p1)
								 || on_seg(L[j], L[i].p2);
			}
			else {
				// 不平行
				P r = intersec(L[i], L[j]);
				g[i][j] = g[j][i] = on_seg(L[i], r) && on_seg(L[j], r);
			}
		}
	}

	// Floyd 判断任意两点间是否相连
	for (int k = 0; k < n; ++k) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			for (int j = 0; j < n; ++j) {
				g[i][j] |= (g[i][k] & g[k][j]);
			}
		}
	}
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	while(scanf("%d", &n) && n != 0) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			scanf("%lf%lf%lf%lf", &L[i].p1.x, &L[i].p1.y, &L[i].p2.x, &L[i].p2.y);
		}	
		solve();
		int l, r;
		while(scanf("%d%d", &l, &r)) {
			if(l == 0 && r == 0) break;
			puts(g[l-1][r-1] ? "CONNECTED" : "NOT CONNECTED");
		}	
	}
	return 0;
}