∑mi=1gcd(m,i)=∑d|md×ϕ(md)∑i=1mgcd(m,i)=∑d|md×ϕ(md)
证明:
因为 gcd(m,i)gcd(m,i) 的结果只可能是 mm 的因数,所以 从 11 到 的 gcd(m,i)gcd(m,i) 的和,也就是所有能整除 mm 的数 乘以 gcd(m,i)=dgcd(m,i)=d 的个数 的和。
至于为什么 gcd(m,i)=dgcd(m,i)=d 的个数是 ϕ(md)ϕ(md) 个,
我们可以这样想:
我们的问题就是求满足 gcd(m,p∗d)=dgcd(m,p∗d)=d (1<=p<=md)(1<=p<=md) 的 pp 有多少个。
将 分成两部分 dd 和 , 则 gcd(md∗d,p∗d)=dgcd(md∗d,p∗d)=d,可得gcd(md,p)=1gcd(md,p)=1,即 pp 与 互素。 或者可以用反证的思路想, pp 必然要与 刨除 dd 后剩下的部分即 互素,因为若 pp 与 不互素,即 gcd(p,md)=kgcd(p,md)=k, 则 gcd(m,p∗d)=k∗d≠dgcd(m,p∗d)=k∗d≠d, 所以 pp 与 互素。 pp 的个数即欧拉函数 。