数论小知识点总结

本文深入探讨了求和公式∑mi=1gcd(m,i)与欧拉函数ϕ(md)之间的数学关系,并给出了详细的证明过程。通过解析gcd(m,i)=d的个数与ϕ(md)的联系,揭示了数学中的精妙之处。

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mi=1gcd(m,i)=d|md×ϕ(md)∑i=1mgcd(m,i)=∑d|md×ϕ(md)

证明:

因为 gcd(m,i)gcd(m,i) 的结果只可能是 mm 的因数,所以 i11mgcd(m,i)gcd(m,i) 的和,也就是所有能整除 mm 的数 d 乘以 gcd(m,i)=dgcd(m,i)=d 的个数 的和。

至于为什么 gcd(m,i)=dgcd(m,i)=d 的个数是 ϕ(md)ϕ(md) 个,
我们可以这样想:
我们的问题就是求满足 gcd(m,pd)=dgcd(m,p∗d)=d (1<=p<=md)(1<=p<=md)pp 有多少个。
m 分成两部分 dd(md), 则 gcd(mdd,pd)=dgcd(md∗d,p∗d)=d,可得gcd(md,p)=1gcd(md,p)=1,即 pp(md) 互素。 或者可以用反证的思路想, pp 必然要与 m 刨除 dd 后剩下的部分即 (md) 互素,因为若 pp(md) 不互素,即 gcd(p,md)=kgcd(p,md)=k, 则 gcd(m,pd)=kddgcd(m,p∗d)=k∗d≠d, 所以 pp(md) 互素。 pp 的个数即欧拉函数 ϕ(md)

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