二叉树的顺序存储结构

此结构是将二叉树的所有结点，按照一定的次序，存储到一片连续的存储单元中。因此，必须将结点排成一个适当的线性序列，使得结点在这个序列中的相应位置能反映出结点之间的逻辑关系。这种结构特别适用于近似满二叉树。

在一棵具有n个结点的近似满二叉树中，我们从树根起，自上层到下层，逐层从左到右给所有结点编号，就能得到一个足以反映整个二叉树结构的线性序列，如图6所示。其中每个结点的编号就作为结点的名称。

图6 近似满二叉树的结点编号

因此，我们可以对树的类型作如下说明：

TPosition=integer; TreeType=record            NodeCount:integer;      {树的总结点数}            NodeList:array [1..MaxNodeCount] of LabelType; {存储结点的数组}          end;

将数组下标作为结点名称(编号)，就可将二叉树中所有结点的标号存储在一维数组中。例如，图6中的二叉树的顺序存储结构如图7所示。

图7 近似满二叉树的顺序存储结构

    在二叉树的这种表示方式下，各结点之间的逻辑关系是隐含表示的。近似满二叉树中，除最下面一层外，各层都充满了结点。可能除最底层外，每一层的结点个数恰好是上一层结点个数的2倍。因此，从一个结点的编号就可推知其父亲，左、右儿子，和兄弟等结点的编号。例如，对于结点i我们有：

1. 仅当i=1时，结点i为根结点；

2. 当i>1时，结点i的父结点为i/2；

3. 结点i的左儿子结点为2i；

4. 结点i的右儿子结点为2i+1；

5. 当i为奇数且不为1时，结点i的左兄弟结点为i-1；

6. 当i为偶数时，结点i的右兄弟结点为i+1。

由上述关系可知，近似满二叉树中结点的层次关系足以反映结点之间的逻辑关系。因此，对近似满二叉树而言，顺序存储结构既简单又节省存储空间。

对于一般的二叉树，采用顺序存储时，为了能用结点在数组中的位置来表示结点之间的逻辑关系，也必须按近似满二叉树的形式来存储树中的结点。显然，这将造成存储空间的浪费。在最坏情况下，一个只有k个结点的右单枝树却需要2^k-1个结点的存储空间。例如，只有3个结点的右单枝树，如图8(a)所示，添上一些实际不存在的虚结点后，成为一棵近似满二叉树，相应的顺序存储结构如图8(b)所示。

图8 一般二叉树的顺序存储结构

下面我们就用这种顺序存储结构来实现二叉树的常用操作。在这种表示法中，整数0表示空结点∧。对于非近似满二叉树，我们将其补为近似满二叉树，并规定一个特殊的标号&，用来表示补充的结点，&要根据标号的具体类型来确定。

顺序存储结构实现ADT二叉树的操作

函数 Parent(v,T); 功能 这是一个求父结点的函数，函数值为树T中结点v的父亲。当v是根结点时，函数值为∧，表示结点v没有父结点。 实现 Function Parent(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin  return(v div 2); end; 说明 根据这种表示法，我们知道，当i>1时，结点i的父结点为i/2。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Left_Child(v,T); 功能 这是一个求左儿子结点的函数。函数值为树T中结点v的左儿子。当结点v没有左儿子时，函数值为∧。 实现 Function Left_Child(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin  if (2*v>T.NodeCount)or(T.NodeList[2*v]=&) then return(0)                                             else return(2*v); end; 说明 如果结点v的左儿子存在，则其下标为2*v。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Right_Child(v,T); 功能 这是一个求右儿子结点的函数。函数值为树T中结点v的右儿子。当结点v没有右儿子时，函数值为∧。 实现 Procedure Right_Child(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin  if (2*v+1>T.NodeCount)or(T.NodeList[2*v+1]=&) then return(0)                                                 else return(2*v+1); end; 说明 如果结点v的左儿子存在，则其下标为2*v+1。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Create(x,Left,Right,T); 功能 这是一个建树过程。该函数生成一棵新的二叉树T，T的根结点标号为x，左右儿子分别为Left和Right。 实现 Procedure Create(x:LabelType;var Left,Right,T:TreeType); begin  T.NodeList[1]:=x;  T.NodeCount:=Left.NodeCount+Right.NodeCount+1;  h_left:=cal(Left.NodeCount);  h_right:=cal(Right.NodeCount);{分别计算Left和Right的高度}  if h_left>h_Right then h:=h_left else h:=h_right;{新树T的高度为h+1}  for i:=Left.NodeCount+1 to (1 shl (h+1))-1 do Left.NodeList[i]:=&；  Left.NodeCount:=(1 shl (h+1))-1;   {将Left补成高度为h的满二叉树；其中shl是左移位运算，用来计算2的幂} if h_right<h then    begin     for i:=Right.NodeCount+1 to (1 shl h)-1 do Right.NodeList[i]:=&；     Right.NodeCount:=(1 shl h)-1;    end;   {若Right的高度小于h，则将Right补成高度为h-1的满二叉树} 　 {======= 对于Left中编号为i的结点v，它在新树T中的编号为2h +i，其中h=log2(i+1)-1 ；对于Right中编号为i的结点v，它在新树T中的编号为2h+1+i，其中h=log2(i+1)-1 。 =======} 　  for i:=1 to Left.NodeCount do    T.NodeList[(1 shl cal(i))+i]:=Left.NodeList[i]; {计算出Left中编号为i的结点在T中的位置，将其复制到T中}  for i:=1 to Right.NodeCount do    T.NodeList[(1 shl (cal(i)+1))+i]:=Right.NodeList[i]; {计算出Right中编号为i的结点在T中的位置，将其复制到T中} end; 　 其中cal(i)用来计算含有i个结点的近似满二叉树T的高度，cal(i)=log2(i+1)-1,可以实现如下： 　 Function cal(i:integer;):integer; var x:real; begin  x:=log2(i+1)-1;  if x=int(x) then return(x) else return(int(x)+1); {向上取整} end; 　 其中log2(n)计算实数n以2为底的对数。 说明 　 在顺序存储的结构下，建立一棵新的二叉树的过程比较复杂。我们首先给出以下几个命题： 　 命题一 一棵高度为h的满二叉树有2h+1-1个结点。 证明： 满二叉树的第i层有2i个结点，i=0,1,2,...,h(树根为第0层)，因此高度为h的满二叉树有20+21+..+2h = 2h+1-1个结点。 推论一 我们从树根起，自上层到下层，逐层从左到右给二叉树的所有结点编号，如图6所示，则近似满二叉树的第h层的从左到右第k个结点的编号为2h+k-1。 证明： 由于是近似满二叉树，所以第0层到第h-1层是满二叉树，根据命题一知道共有2h-1个结点，因此第h层的从左到右第1个结点的编号为2h-1+1，第h层的从左到右第k个结点的编号为2h-1+k。 推论二 一棵有n个结点的近似满二叉树，高度为log2(n+1)-1 ,其中 是天花板符号， x表示大于等于x的最小整数。 证明： 有n个结点的近似满二叉树，若其高度为h，则满足2h-1<n≤2h+1-1,化简得 log2(n+1)-1 ≤ h < [log2(n+1)-1]+1，即h=log2(n+1)-1。 推论三 在近似满二叉树T中，设编号为i的结点处于T的第h层从左到右第k个位置上，则h=log2(i+1)-1 ，k=i-(2h-1)。 证明： 我们先不考虑编号大于i的结点，则前i个结点构成一棵近似满二叉树，根据推论二知其层数为h=log2(i+1)-1 ，又因为第0层到第h-1层是满二叉树，根据命题一知道共有2h-1个结点，所以编号为i的结点处于第h层的第k=i-(2h-1)个位置上。 我们用T(h,k)表示树T的第h层的第k个结点，则有下列命题： 　 命题二 Left(h,k)=T(h+1,k)，Right(h,k)=T(h+1,k+2h)，其中Left和Right分别是树T的根结点的左右子树。 证明： 显然。 我们用N(v,T)表示结点v在生成的新树T中的编号，则有下列命题： 　 命题三 对于Left中编号为i的结点v，N(v,T)=2h +i，其中h=log2(i+1)-1 ；对于Right中编号为i的结点v，N(v,T)=2h+1+i，其中h=log2(i+1)-1 。 证明： 在Left中编号为i的结点，根据推论三，他处于Left的第h=log2(i+1)-1 层，第k=i-(2h-1)个位置上。根据命题二该结点处于新树T的第h+1层第k个位置上，所以根据推论一，它在二叉树T中的编号为2h+1+k-1=2*2h+[i-(2h-1)]-1=2h+i。结点在Right中的情况同理可证。 　 有了命题三，我们就可以完成建树的过程。算法如下： 根据推论二计算Left和Right的高度，分别为hLeft和hRight ； 设h=max{hLeft,hRight}，新树T的高度就为h+1； 将Left补成高度为h的满二叉树； 若hRight<h，则将Right补成高度为h-1的满二叉树； 依次扫描Left的每一个结点，根据命题三计算出Left中编号为i的结点在T中的位置，将其复制到T中； 依次扫描Right的每一个结点，根据命题三计算出Right中编号为i的结点在T中的位置，将其复制到T中； 具体程序见前文的实现。 复杂性 算法的主要时间花在扫描和赋值结点上，设新树有n个结点，则复杂性为O(n)。