【图像处理】几何常用公式归纳

本文详细探讨了如何通过已知条件求解关于某直线对称的两条直线的倾斜角,涉及二倍角正切公式及点关于直线的对称点的求解方法。同时介绍了点旋转后的坐标变换公式,适用于平面几何与计算机图形学领域。

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1、关于某直线对称的两条直线斜率的关系

二倍角正切公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)

假设,已知对称轴L0,倾斜角为c,直线L1,倾斜角为a,求L1关于L0对称的直线L2的倾斜角为b,有

a+b = 2c

求解:

tan(2c) = 2tan(c)/(1-tan(c)^2)……公式(1)

tan(2c) = tan(a+b) = ( tan(a)+tan(b) )/(1-tan(a)*tan(b))……公式(2)

代入已知量c、a,联立(1)(2),可求得b

2、点关于直线的对称点

公式推导参考:http://wenku.baidu.com/link?url=RiUhL8JitM6sHCt85on-L-LtVPYcNYmF5YSbz0NXl_DMmjGgEIVvEi96b68A7Ox8kXv1e1aK9DvRfe5blPekKw8bQvLunS2zdCfdV1Q1XJ7

假设,在平面直角坐标系中,已知点A坐标和直线L的一般方程,求A关于L的对称点B的坐标,有

直线L方程:Ax+By+C=0,点A坐标(xa,ya)

令D = sqrt(A*A+B*B),E = (A*xa+B*ya+C)/D

则点B坐标(xb,yb)为:

xb = xa-2*A/D*E;
yb = ya-2*B/D*E;

若已知直线上两点,先获得直线的一般方程:

A = y2 -y1;

B = x1 - x2;

C = x2*y1 - x1*y2;

3、点旋转后的坐标

假设,平面直角坐标系中,点A(xa,ya)以O(xo,yo)为旋转中心旋转弧度th,则旋转后的点B(xb,yb)为

xb = (xa-xo)*cos(th) - (ya-yo)*sin(th) + xo;  

yb = (xa-xo)*sin(th) + (ya-yo)*cos(th) + yo;

4、点到直线的距离

d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

d带符号,欧氏距离要取绝对值

5、点到直线的垂足

求解两个方程:

Ax + By + C = 0;(1)

(y - y0) / (x - x0) = B / A;  (2)

解得

x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

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