【图像处理】几何常用公式归纳

1、关于某直线对称的两条直线斜率的关系

二倍角正切公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)

假设，已知对称轴L0，倾斜角为c，直线L1，倾斜角为a，求L1关于L0对称的直线L2的倾斜角为b，有

a+b = 2c

求解：

tan(2c) = 2tan(c)/(1-tan(c)^2)……公式（1）

tan(2c) = tan(a+b) = ( tan(a)+tan(b) )/(1-tan(a)*tan(b))……公式（2）

代入已知量c、a，联立（1）（2），可求得b

2、点关于直线的对称点

公式推导参考：http://wenku.baidu.com/link?url=RiUhL8JitM6sHCt85on-L-LtVPYcNYmF5YSbz0NXl_DMmjGgEIVvEi96b68A7Ox8kXv1e1aK9DvRfe5blPekKw8bQvLunS2zdCfdV1Q1XJ7

假设，在平面直角坐标系中，已知点A坐标和直线L的一般方程，求A关于L的对称点B的坐标，有

直线L方程：Ax+By+C=0，点A坐标（xa,ya）

令D = sqrt(A*A+B*B)，E = (A*xa+B*ya+C)/D

则点B坐标(xb,yb)为：

xb = xa-2*A/D*E;
yb = ya-2*B/D*E;

若已知直线上两点，先获得直线的一般方程：

A = y2 -y1;

B = x1 - x2;

C = x2*y1 - x1*y2;

3、点旋转后的坐标

假设，平面直角坐标系中，点A（xa，ya）以O（xo，yo）为旋转中心旋转弧度th，则旋转后的点B（xb，yb）为

xb = (xa-xo)*cos(th) - (ya-yo)*sin(th) + xo;  

yb = (xa-xo)*sin(th) + (ya-yo)*cos(th) + yo;

4、点到直线的距离

d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

d带符号，欧氏距离要取绝对值

5、点到直线的垂足

求解两个方程：

Ax + By + C = 0;（1）

(y - y0) / (x - x0) = B / A;  （2）

解得

x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );