为什么样本方差要除以n-1

  这学期在外交换选的大部分是统计学院的课，前几天在课上教授偶然提到了样本方差与样本空间的方差$v(x)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$不同，样本方差为$v(x)=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$。这一块在以前学数理统计的时候就没太学明白，前两天另一门课又详细讲了简单随机抽样的过程，对我有了很大启发，之前困扰我的问题也解决了。

一、简单随机抽样

  假设一个样本空间 Ω = { 1 , 2 , . . . , 9 } \Omega=\{1,2,...,9\} Ω={ 1,2,...,9}，每次从样本空间中随机抽取一个数X，要计算X小于5的概率，即$P(X<5)$。但如果仔细想一想，当我们抽取了一个X，X应该是一个确认的常数，为什么会有小于5的概率呢？
  这是因为，我们感兴趣的不是选出特定那个数字小于5的概率。随机性来源于我们假定的随机在样本空间中抽取一个数字，并假设每个数字被抽取到的概率相等。这个过程叫做简单随机抽样（Simple Random Sample, SRS）。进一步说，我们感兴趣的是每次随机抽取一个数字，这个数字小于5的概率。
  然而，样本数据并不能反映数据的真实情况，因为随机抽样的随机性。例如在我们的例子內，假如我们做9次简单随机抽样，我们并不能保证数字1到9都会出现，这也是为什么，数据的总方差和样本方差是不一样的。

二、中心极限定理

  然而，由于中心极限定理，假设我们做n次简单随机抽样，当n是一个足够大数字的时候，我们随机抽样样本的均值$\bar{x}$是服从于正态分布的。
  我们知道，对正态分布重要的参数是变量的均值与方差，即$\bar{x}$的均值与方差。我们假设样本为 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = \{x_1,x_2,...,x_n\} X={ x1​,x2​,...,xn​}，样本均值为$\bar{x}$，总体均值为$\mu$，样本方差为$S^2$，总体方差为${\sigma }^2$，则：
$$E(\bar{x})=E(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i))=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(x_i)=$$