[Algorithmic Toolbox学习笔记][week4]Divide and conquer

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Karen_AMPM/article/details/126813835

Main idea of divide and conquer

1. Break into non-overlapping subproblems of the same type

重点一：non- overlapping （如果被分解后的问题之间有重叠，不行）

重点二：same type （如果被分解后的问题类型不一致（有三角形有长方形），不行）

正确分解问题的方式（分解后的问题无重叠，且是同一类型）

2. Solve subproblems

3. Combine results

linear Search

index	0	1	2	3	4	5	6	7
value	15	5	20	35	2	41	67	17

linear search的逻辑：单线程按照index依次去查找value = k的元素（k为我们要找的值）。

比如以上的例子中，如果我们要查找41（key = 41），从index = 0 开始：
1. index = 0 时，0对应的值与key值不相等（15 ≠ 41） --> 查找下一个
2. index = 1 时，0对应的值与key值不相等（5 ≠ 41） --> 查找下一个
...
3. index = 5 时，0对应的值与key值相等（41 = 41） --> 找到了 --> return 5

如果low表示第一个元素的index值，high表示最后一个元素的index值，A表示要查找的数列，key表示要查找的值。那么linear search的公式为：

用python3来实现linear search的话，代码如下：

def linearSearch(arr, low, high, key):
    if high >= low:
        if arr[low] == key:
            return low
        return linearSearch(arr, low + 1, high, key)
    #else表示数组为空，或者找完数组内所有元素都没有要查找的值则返回-1
    else:
        return -1

arr = [15, 5, 20, 35, 2, 41, 67, 17]
key = 41

result = linearSearch(arr, 0, len(arr)-1, key)
if result == -1:
    print('Element is not present in array')
else:
    print('Element is present at index % d' % result)

Binary Search

index	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
value	17	9	25	5	89	71	63	45	59	23

Binary search的逻辑：
1. 首先将值按照从小到达的顺序排列；
2. 找到处于最中间的值，用这个值与要查找的值进行比较：
a. 如果中间值大于要查找的值，那么程序会在中间值左边的值里面查找（查找方式同步骤2）
b. 如果中间值小于要查找的值，那么程序会在中间值右边的值里面查找（查找方式同步骤2）

比如以上的例子中，如果我们要查找63（key = 63）：
1. 首先重新排序得到以下列表。
index 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
value 4 9 17 23 25 45 59 63 71 89

2. 此时的low = 0, hight = 9, mid = 0 + (9-0)//2 = 4
用中间值与key比较：25 < 63 --> 在后半段查找
4. 此时的low = 5, hight = 9, mid = 5 + (9-4)//2 = 7
用中间值与key比较：63 = 63 --> 找到值 --> return mid

如果low表示第一个元素的index值，high表示最后一个元素的index值，A表示要查找的数列，key表示要查找的值，mid表示中间值的index。那么Binary search的公式为：

用python3来实现Binary search的话，代码如下：

def binarySearch(arr, low, high, key):
	if high >= low:
		mid = low + (high - low) // 2
		if arr[mid] == key:
			return mid
		elif arr[mid] > key:
			return binarySearch(arr, low, mid-1, key)
		else:
			return binarySearch(arr, mid + 1, high, key)
    #else表示数组为空，或者找完数组内所有元素都没有要查找的值则返回-1
	else:
		return -1

list = [17, 9, 25, 5, 89, 71, 63, 45, 59, 23]
arr = sorted(list)
key = 63

result = binarySearch(arr, 0, len(arr)-1, key)
if result == -1:
    print('Element is not present in array')
else:

    print('Element is present at index % d' % result)