NOIP2013 提高组复赛解题报告

NOIP2013 提高组复赛

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$$day\;1$$

1002. 火柴排队

• 贪心+数据结构/归并排序

这个“相邻交换”让我联想到了NOIP2012_day1_task2_game那题的恶心做法，于是就专注推导相邻两个元素交换对解的影响。然后根据以前经验知道一定有一个序列可以完全不动，而另一个序列只需要以第一列作为标准移动（所以样例解释反而给的误导很大）。于是很快就确信正解了。

现在想起来还有一点小激动，自己居然能找出规律来。

首先，一定可以只对某一组的元素进行交换，能以给定的最少步数，得到另外一组的结果。显然当前序列还缺少k步就和另外一个序列相同时，另外一个序列一定也只需要k步就可以和当前序列相同。

其次，由于只能相邻交换，对于每一次的操作，它对于解的影响一定只与这一对元素有关。于是我们对相邻元素的数量关系进行推导：

假设有两组元素$a_i,a_{i+1}$和$b_i,b_{i+1}$，如果有

$$(a_i-b_i)^2+(a_{i+1}-b_{i+1})^2\lt (a_i-b_{i+1})^2+(a_{i+1}-b_i)^2$$

则说明有$\{b_i,b_{i+1}\}$的顺序比$\{b_{i+1},b_i\}$更优。对上述式子推导有：

$$2a_ib_{i+1}+2a_{i+1}b_i\lt 2a_ib_i+2a_{i+1}b_{i+1}$$

ai(bi+1−bi)+ai+1(