墨卡托投影原理及瓦片公式推导

墨卡托投影

墨卡托投影将地球球面投影到一个圆柱体柱面上，将地球看作一个正球体时，以$O$为地球球心，从球心向外辐射射线，与地球外接圆柱面交与$P^{\prime }$。
设纬度为 $\varphi$，经度为$\lambda$，其中：

$$\varphi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$$$\lambda \in (-\pi ,\pi )$$

对于经纬度为( $\varphi$，$\lambda$)的坐标点，投影到圆柱面的坐标为($R\tan \varphi$，$R\lambda$)，坐标轴分别与柱面高以及柱面弧平行，设经度轴为$x$轴，纬度轴为$y$轴。
投影后，$x$最大取值为赤道长，即$x_{max}=2\pi R$，而$y_{max}=2R\tan {\varphi }_{max}$，其中$R$为球半径。
由于投影将圆柱面投影成正方形，长宽相等，则：

$$x_{max}=y_{max}$$

即：

$$2\pi R=2R\tan {\varphi }_{max}(1)$$

墨卡托投影防畸变处理

墨卡托投影将地球映射成了一个经纬度均匀分布的坐标系，由于将球体直接投影到柱面时经度是均匀的而纬度是不均匀的，所以地图需要对纬度进行防畸变处理。下面讨论纬度$\varphi$与畸变处理后地图纵坐标$y$的函数关系。

$P$点在地球上的经度为$\lambda$，纬度为$\varphi$，设$Q$点为地球上与$P$点无限接近的一点，则$Q$点经纬度分别为$\lambda +\Delta \lambda$、$\varphi +\Delta \varphi$。
$P$、$M$所在纬线圈的半径
$$r=R\cos \varphi$$
其中$R$为赤道圆半径。

由于$P$、$M$在同一纬线圈上，所以$PM$间的弧长为它们纬线圈半径与两点经度差之积，即：
$$PM=r\ast \Delta \lambda =R\Delta \lambda \cos \varphi$$$$QM=R\ast \Delta \varphi$$

$P^{\prime }$、$Q^{\prime }$为地球上点$P$、$Q$由墨卡托投影变换得到的点，此坐标系下经度、纬度线的分布都是均匀的，$x$