算法训练 Day 41

LeetCode 343. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分

思路：动规五部曲分析：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]表示拆分数字i能得到的最大乘积。
2. 确定递推公式
   dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
   从1开始遍历到j，有两种方式能得到dp[i]
   1）$j\ast (i-j)$相乘直接就是最大的乘积；
   2）$j\ast dp[i-j]$，相当于再继续拆分$(i-j)$
   也可以这么理解，$j\ast (i-j)$是直接把整数拆分为两个数相乘，而$j\ast dp[i-j]$是拆分成两个以上的数相乘，所以递推公式为：$dp[i]=max(dp[i],(i-j)\ast j,dp[i-j]\ast j)$。
3. dp数组的初始化
   因为n>=2的，所以初始化dp[0]和dp[1]其实是没有意义的，初始化dp[2]=1即可。
4. 确定遍历顺序
   因为dp数组从dp[2]（索引3）时才开始有实际意义，所以i从索引4开始从前向后遍历到n。
5. 打印dp数组的最后一位即为结果。

Python版本：

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n<=3:
            return n-1
        dp = [0] * (n+1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n+1):
            for j in range(1, i//2 + 1):
                dp[i] = max(dp[i], dp[i-j]*j, j*(i-j))

        return dp[-1]

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$

go版本：

func integerBreak(n int) int {
    if n<=3 {
        return n-1
    }
    dp := make([]int, n+1)
    dp[2] = 1
    for i:=3; i<=n; i++ {
        for j:=1; j<i/2+1; j++ {
            dp[i] = max(dp[i], max(dp[i-j]*j, j*(i-j)))
        }
    }
    return dp[len(dp)-1]
}

func max(i, j int) int {
    if i>j {
        return i
    } else {
        return j
    }
}

LeetCode 96. 不同的二叉搜索树

题目链接：96. 不同的二叉搜索树

思路：动规五部曲分析：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]表示 i 个节点组成且节点值从 1 到 i 互不相同的二叉搜索树有 dp[i] 种。

2. 确定递推公式
   dp[i]是怎么得到的呢？这个问题其实比较抽象，我们如果做这种题一时没有明确的递推公式的思路的话，可以通过枚举法来找找规律。
   dp[1] = 1
   dp[2] = 2
   

   从n=3开始，有5种二叉搜索树（图摘自代码随想录）：
   
   我们发现，以1做根节点的情况有两种，以2做根节点的情况有1种，以3做根节点的情况有两种；
   其中：以1为根节点时其右子树的二叉树结构与n=2时的两种二叉树结构相同；以2为根节点时其左、右子树的树结构与n=1时的二叉树结构相同；以3为根节点时其左子树的二叉树结构与n=2时的两种二叉树结构相同。
   综上所述，元素1为根结点的二叉搜索树数量 = 左子树有0个元素的搜索树数量 * 右子树有2个元素的搜索树数量；元素2为根结点的二叉搜索树数量 = 左子树有1个元素的搜索树数量 * 右子树有1个元素的搜索树数量；元素3为根结点的二叉搜索树数量 = 左子树有2个元素的搜索树数量 * 右子树有0个元素的搜索树数量。三种情况的数量之和就是dp[3]。
   所以，$dp[3]=dp[0]\ast dp[2]+dp[1]\ast dp[1]+dp[2]\ast dp[0]$
   如果 j 作为根节点的元素，$dp[i]=dp[0]\ast dp[i-1]+dp[1]\ast dp[i-2]+...+dp[j-1]\ast dp[i-j]+...+dp[i-2]\ast dp[1]+dp[i-1]\ast dp[0]$
   也就是说，j 从1开始遍历到 i，dp[i] 的递推公式为：$dp[i]+=dp[j-1]\ast dp[i-j]$。

3. dp数组的初始化
   本题在初始化的时候还有一个细节，那就是当n=0时 dp[0] 也是有意义的，因为空节点也是一个二叉搜索树，所以$dp[0]=1$。

4. 确定遍历顺序
   dp数组从i = 1，从前向后遍历到n。

5. 打印dp数组的最后一位即为结果。

Python版本：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        if n<=2:
            return n
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, i+1):
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]

        return dp[-1]

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$

go版本：

func numTrees(n int) int {
    if n<=2 {
        return n
    }
    dp := make([]int, n+1)
    dp[0] = 1
    for i:=1; i<=n; i++ {
        for j:=1; j<=i; j++ {
            dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]
        }
    }
    return dp[len(dp)-1]
}