动态规划常见问题

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本文深入讲解动态规划在解决背包问题和最长公共子序列(LCS)问题中的应用。通过定义状态和转移方程，阐述如何使用记忆化搜索优化递归过程，实现高效求解。

主要方法设置一个dp数组记录递归的各个状态，记忆化搜索。关键写出dp的状态转移方程和状态的定义

01背包：

定义状态dp[i+1][j]=从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值

当j<w[i]时dp[i+1][j]=dp[i][j]

其他情况，dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]

代码：

void DP(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=W;j++){
            if(j<w[i])dp[i+1][j]=dp[i][j];
            else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
}

或者利用状态转移的思想，将状态“前i个物品中选取总重量不超过j的状态”转移到“前i+1个物品中选取总重量不超过j”和“前i+1个物品中选取总重量不超过j+w[i]”

void DP(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=W;j++){
            dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j]);
            if(j+w[i]<=W){
                dp[i+1][j+w[i]]=max(dp[i+1][j+w[i]],dp[i][j]+v[i]);
            }
        }
    }
}

LCS问题：注意这里的子序列非连续

dp[i][j]=s1,s2,..,si和t1,..tj对应的公共最长子序列长度

dp[i+1][j+1]=dp[i][j]

void LCS()
{
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            if(s[i]==t[j]){
                dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
            }else{
                dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
            }
        }
    }
}