Leetcode（543）——二叉平衡树

Leetcode（543）——二叉平衡树

题目

给定一棵二叉树，你需要计算它的直径长度。一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。

示例：

给定二叉树

返回 3, 它的长度是路径 [4,2,1,3] 或者 [5,2,1,3]。

注意：两结点之间的路径长度是以它们之间边的数目表示。

题解

方法一：深度优先搜索

思路

​​  首先我们知道一条路径的长度为该路径经过的节点数减一，所以求直径（即求路径长度的最大值）等效于求路径经过节点数的最大值减一。

​​  而任意一条路径均可以被看作由某个节点为起点，从其左儿子和右儿子向下遍历的路径拼接得到。

​​  如图我们可以知道路径 $[9,4,2,5,7,8]$ 可以被看作以 $2$ 为起点，从其左儿子向下遍历的路径 $[2,4,9]$ 和从其右儿子向下遍历的路径 $[2,5,7,8]$ 拼接得到。

​​  假设我们知道对于该节点的左儿子向下遍历经过最多的节点数 $L$ （即以左儿子为根的子树的深度） 和其右儿子向下遍历经过最多的节点数 $R$ （即以右儿子为根的子树的深度），那么以该节点为起点的路径经过节点数的最大值即为 $L+R+1$。

​​  我们记节点 $\text{node}$ 为起点的路径经过节点数的最大值为 $d_{\text{node}}$，那么二叉树的直径就是所有节点 $d_{\text{node}}$ 的最大值减一。

​​  最后的算法流程为：我们定义一个递归函数 $depth(node)$ 计算 $d_{\text{node}}$，函数返回该节点为根的子树的深度。先递归调用左儿子和右儿子求得它们为根的子树的深度 $L$ 和 $R$ ，则该节点为根的子树的深度即为

$$max(L,R)+1$$

​​  该节点的 $d_{\text{node}}$ 值为

$$L+R+1$$

​​  递归搜索每个节点并设一个全局变量 $ans$ 记录 $d_{\text{node}}$ 的最大值，最后返回 $ans-1$ 即为树的直径。

代码实现

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
    int maxL = 0;
    int height(TreeNode* root){
        // 一棵二叉树的直径，该路径一定是以该二叉树的某一结点为根节点的子树，且值为其左右子树的高度相加。
        // 一棵二叉树的直径可能穿过也可能不穿过根结点————指是否以 root 为根结点。
        // 所以只需要在遍历每个结点时，求出其左右子树的高度相加的值。
        if(root == nullptr) return 0;
        int left = height(root->left), right = height(root->right);
        maxL = max(maxL, left + right);
        return max(left, right) + 1;
    }
public:
    int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root){
        if(root == nullptr) return 0;
        height(root);
        return maxL;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(N)$，其中 $N$ 为二叉树的节点数，即遍历一棵二叉树的时间复杂度，每个结点只被访问一次。
空间复杂度：$O(Height)$，其中 $Height$ 为二叉树的高度。由于递归函数在递归过程中需要为每一层递归函数分配栈空间，所以这里需要额外的空间且该空间取决于递归的深度，而递归的深度显然为二叉树的高度，并且每次递归调用的函数里又只用了常数个变量，所以所需空间复杂度为 $O(Height)$。