动态规划-带权活动选择问题

问题描述

问题情景：在活动选择问题的基础上，为每个活动增加了权重。问题变为，一天中给定一系列活动，每个活动有一个权重。参加的活动必须是不相容的(incompatible)，即在时间上不能有重叠。问如何安排一天的时间，使得参加的活动的权重和最大？

形式化定义：给定一个向量的集合 A = { a 1 ( s 1 , f 1 , w 1 ) , a 2 ( s 2 , f 2 , w 2 ) , . . . , a n ( s n , f n , w n ) } A=\{a_1(s_1,f_1, w_1),a_2(s_2,f_2,w_2),...,a_n(s_n,f_n,w_n)\} A={a1​(s1​,f1​,w1​),a2​(s2​,f2​,w2​),...,an​(sn​,fn​,wn​)}，选择$A$的子集$S$，满足：
$$s_i\le f_j\vee f_i\ge s_j，\forall a_i,a_j\in S$$
使最大化：
$$\sum _{a_i\in S}{w}_i$$

贪心算法

活动选择问题存在三种贪心思想：

• 贪心策略一：优先参加时间最短的活动
• 贪心策略二：优先参加最早开始的活动
• 贪心策略三：优先参加最早结束的活动

在不带权的活动选择问题中，我们按优先参加最早结束的活动来进行贪心，并证明了方案的最优性。但在带权活动选择问题中，我们需要引入动态规划思想进行一些改进。

动态规划

“$i$个不冲突活动的最大权重和”可以由以下两种情况得来：

• 选择第$i$个活动，则$i$个不冲突活动的最大权重和 = 前$f(i)$个不冲突活动的最大权重 + $w_i$
  • 其中$f(i)$为选择$i$之后在$i$之前最后一个不与$i$冲突的活动序号
• 不选择第$i$个活动，则$i$个不冲突活动的最大权重和 = 前$i-1$个不冲突活动的最大权重。

记$i$个不冲突活动的最大权重和为$dp[i]$，则状态转移方程为：
d p [ i ] = m a x { d p [ i − 1 ] , d p [ f ( i ) ] } dp[i]=max\{dp[i-1], dp[f(i)]\} dp[i]=max{dp[i−1],dp[f(i)]}

动态规划的复杂度为线性$O(n)$，而事先对活动排序的时间复杂度至少为$O(nlogn)$。因此整个算法的复杂度为$O(nlogn)$。

例子：

对于上述问题，填表如下：

0	1	2	3	4	5	6	7	9	10	11
0	5	8	8	12	12	12	13	20	20	21

因此最大权值和为21。

讨论：活动排序策略

一个值得讨论的问题是，当我们在动态规划中比较两个活动的“先后”时，采用的是什么标准？在前文的动态规划中，我们沿用不带权活动选择问题的做法，使用的是结束时间进行升序排序。那么，能否选择另外两种贪心思想来排序呢？

对于最早开始优先的思想，按开始时间进行排序，显然也是可行的。这需要进行一个反序的动态规划，相当于将活动图左右翻转了一下。

对于时间最短优先的思想，则很难进行动态规划，因为动态规划最主要是利用好递归的子问题，而按时间最短优先则会选择到在中间的活动，破坏了时间的连续性，从而无法形成子问题。

附：贪心算法和动态规划算法的比较

• 贪心算法：一步步地通过增加子问题的规模来构造问题的解，并短视地(myopically)注重于当前构造当前的子问题：既不保存过去的子问题信息，也不关注更大规模的问题。
  • 如果贪心算法被证明能得到最优解的话，那么它一定是高效的好算法。
• 动态规划：将问题分解为许多重叠的子问题，并通过填表将子问题的最优解合并为所求的最优解。
  • 动态规划的适用范围比贪心算法的范围更广。