图论 最小生成树

 

最小生成树：在一给定的无向图 G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即 ），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即 ）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

 性质：

• 最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。
• 最小生成树不可以有循环。
• 最小生成树不必是唯一的。

算法：

          Prim算法，Kruskal算法；prim算法于Dijkstra算法类似、

   Prim算法      

 描述

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {}；
3. 重复下列操作，直到V_new = V：
   1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合V_new中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   2. 将v加入集合V_new中，将（u, v）加入集合E_new中；
4. 输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

时间复杂度

最小边、权的数据结构	时间复杂度（总计）
邻接矩阵、搜索	O(V2)
二叉堆（后文伪代码中使用的数据结构）、邻接表	O((V + E) log(V)) = O(E log(V))
斐波那契堆、邻接表	O(E + V log(V))

通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需O（V²）的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为O(E log V)，其中E为连通图的边数，V为顶点数。如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为O(E + V log V)，这在连通图足够密集时（当E满足Ω（V log V）条件时），可较显著地提高运行速度。

 例示

图例	说明	不可选	可选	已选
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G据E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

证明

设prim生成的树为G₀

假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)

则在G_min中存在(u,v)不属于G₀

将(u,v)加入G₀中可得一个环，且(u,v)不是该环的最长边

这与prim每次生成最短边矛盾

故假设不成立，命题得证.

 

Kruskal算法：

 

建立两个边集合， 设集合1为空，从集合2中挑选一条权值最小的边，若加入此边后，集合1中生成环 这删除此边，重复N-1次 即当集合1中含有N-1一条边时，集合1中的边

形成最小生成树；

 

 

 

总结： 感觉 Prim算法 和 Kruskal算法 在策略上都是一样的，都是找到权值最小的边。Prim算法 利用顶点集合 使得 新加入的边不可能形成环，而Kruskal算法是判断 加入边 是否形成环。即 在不形成环的情况下 加入N-1条边；