dp：注意列方程

最新推荐文章于 2025-11-02 14:58:00 发布

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本文探讨了如何计算具有特定节点数量的AVL树的不同形态数目。通过动态规划的方法解决了这一问题，给出了高效的算法实现，并提供了完整的代码示例。

AVL树的种类

平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。

Input

一行，包含一个整数n。 (0 < n <= 2000)

Output

一行表示结果，由于结果巨大，输出它对1000000007取余数的结果。

Input示例

Output示例

n个结点最高为log1.68（n），最低为log2n，dp[i][h] 为i个结点高度为h的个数。

dp[i][j] 可分为三种情况：①左右子树高度相同：dp[j][h-1]*dp[i-1-j][h-1];

②左右子树高度差一：dp[i][h-1]*dp[i-1-j][h-2]；

③左右子树高度差一：dp[i][h-2]*dp[i-1-j][h-1] (②③两种情况相同可直接乘二)

需要注意：dp[0][0]和dp[1][1] 后续乘法会用到，所以初始化的时候必须改为1！

n个节点的情况为高度为h1,h2,h3,h4... 因此将结点为n，高度为2-h的所有dp相加。

中间不要忘记正！确！的！取余

注意 j，h的范围数组下标0 - MAX

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
const int MAX_N = 2000;
int n;
long long dp[MAX_N + 5][25];
void solve()
{
    int h;
    int sum = 0;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    dp[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j < i; j++)
            for(h = 2; h <= 20; h++)
            {
                dp[i][h] += dp[j][h-1] * dp[i-j-1][h-1]%mod;          //开始没写 +
                dp[i][h] += 2*dp[j][h-1]*dp[i-j-1][h-2]%mod;
                dp[i][h] %= mod;
            }

    for(int i = 0; i <= h; i++)
    {
        sum += dp[n][i];
        sum %= mod;                         // 这里取余
    }
    cout<<sum<<endl;
}
int main()
{
    cin>>n;
    solve();
    return 0;

}