#4349. 「十二省联考 2019」异或粽子-优快云博客

本文介绍了一个关于如何通过选择特定的粽子馅料组合来最大化粽子美味度的问题。使用了前缀异或和、堆和可持久化trie树等数据结构与算法解决该问题。

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题意

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小粽是一个喜欢吃粽子的好孩子。今天她在家里自己做起了粽子。

小粽面前有 $n$ 种互不相同的粽子馅儿，小粽将它们摆放为了一排，并从左至右编号为 $1$ 到 $n$ 。第 $i$ 种馅儿具有一个非负整数的属性值 $a_i$ 。每种馅儿的数量都足够多，即小粽不会因为缺少原料而做不出想要的粽子。小粽准备用这些馅儿来做出 $k$ 个粽子。

小粽的做法是：选两个整数数 $l, r$ ，满足 $1≤l≤r≤n1\le l\le r\le n$ ，将编号在 $[l, r]$ 范围内的所有馅儿混合做成一个粽子，所得的粽子的美味度为这些粽子的属性值的异或和。（异或就是我们常说的 $xor\mathrm{xor}$ 运算，即 C/C++ 中的 ^ 运算符或 Pascal 中的 xor 运算符）

小粽想品尝不同口味的粽子，因此它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。

小粽希望她做出的所有粽子的美味度之和最大。请你帮她求出这个值吧！

$1≤n≤5×105,1≤k≤min⁡{n(n−1)2,2×105},0≤ai≤4,294,967,2951\le n \le 5 \times 10^{5},1\le k\le \min\left\{\frac{n(n-1)}{2},2 \times 10^{5}\right\},0\le a_i \le 4,294,967,295$

题解

把 $a_i$ 变成前缀异或和，所以实际上是在 $[0, n]$ 中选 $k$ 对 $(x, y)$ 使 $∑ax⊕ay\sum a_x \oplus a_y$ 最大

考虑到 $k$ 不是很大，我们可以建立堆，一开始把每个数选到最大的数丢到堆中，然后以异或值作为关键字排序，每次取出堆顶，然后找其第二大异或值丢到堆中……

所以可以发现我们需要查询对于 $i$ ， $\in [0,i-1]$ 的 $ai⊕aja_i \oplus a_j$ 第 $k$ 大数是多少

所以可以建立可持久化 $t r i e$ 树，在 $t r i e$ 树上进行二分即可

#include <bits/stdc++.h>
#define I inline
#define LL long long
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,K,T[N],tt;LL a[N],ans;
struct O{int s,ch[2];}t[N<<6];
struct Q{
	int x,k;LL v;
	I friend bool operator < (const Q& A,const Q& B){
		return A.v<B.v;
	}
};priority_queue<Q>q;
I void ins(int& x,LL v,int d){
	t[++tt]=t[x];x=tt;t[x].s++;
	if (~d) ins(t[x].ch[(v>>d)&1ll],v,d-1);
}
I LL query(int x,LL y,int k,int d){
	if (!~d) return 0;
	bool v=(y>>d)&1ll;
	int s=t[t[x].ch[v^1]].s;
	if (k<=s) return query(t[x].ch[v^1],y,k,d-1)|(1ll<<d);
	return query(t[x].ch[v],y,k-s,d-1);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&K);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]),a[i]^=a[i-1],
		ins(T[i]=T[i-1],a[i-1],31),
		q.push((Q){i,1,query(T[i],a[i],1,31)});
	for (int i=1;i<=K;i++){
		Q y=q.top();q.pop();ans+=y.v;
		if (y.k<=y.x) q.push((Q){y.x,y.k+1,query(T[y.x],a[y.x],y.k+1,31)});
	}
	return printf("%lld\n",ans),0;
}