#4258. 铃铛计数问题

题意

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圣诞节来了，仓鼠又要来策划活动了，今年仓鼠会在圣诞树上挂上铃铛！
已知圣诞树有 $n$ 个节点，并且根节点是固定的。记 $s[i]$ 表示以 $i$ 为根的子树中，所有节点上铃铛数目的总和。但仓鼠觉得询问 $s[i]$ 太简单了，他决定给定 $l$ 和 $r$，要你回答 $\sum _{i=l}^{r}s[i]$ 的值。
但是为了避免有的人一次预处理后一劳永逸，仓鼠在大家答题的过程中还会修改某个节点上灯笼的数量。仓鼠还要去筹备活动，你能帮助他写一个程序帮助实时给出标准答案吗？
$n,q\le 100000$

题解

①考虑对原编号分块，
记 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 点对 $j$ 块所造成的贡献， $s_j$ 表示 $j$ 这一块的答案
1)考虑修改
假设在 $x$ 点上加上 $v$ ，那就利用 $f$ 数组进行对每个 $s_j$ 进行修改
2)考虑查询
设查询 $[l,r]$ ，设 $b_l$ 为 $l$ 在的块
那对于 $[b_l+1,b_r-1]$ 的块可以累加 $s$
对于剩下的，我们需要每个点 $O(1)$ 求出答案
②对 $dfs$ 序进行分块
设 $su{m}_i$ 表示 $dfs$ 序不小于 $i$ 的点的权值和
$ta{g}_j$ 表示这个块的后缀和都要加上的值
对于修改，我们只需要暴力修改 $x$ 的块的每个 $su{m}_x$ ，然后再把 $[1,b_x-1]$ 的块的 $tag$ 加上 $v$
回到原来的问题，每个点对应着一段 $dfs$ 序 $[l,r]$ ，所以它的答案就是 $su{m}_l+ta{g}_{b_l}-su{m}_{r+1}-ta{g}_{b_{r+1}}$
效率 $O(n\times sqrt(n))$

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=100005,M=350;
int w[N],n,q,rt,hd[N],V[N*2],nx[N*2],c[M];
int f[N][M],t,tt,B,b[N],Z,in[N],ot[N];
LL sum[N],tg[M],s[M],A,sz[N];
void add(int u,int v){
	V[++t]=v;nx[t]=hd[u];hd[u]=t;
}
void dfs(int x,int fa){
	sum[in[x]=++tt]=sz[x]=w[x];f[x][b[x]]++;
	for (int i=hd[x];i;i=nx[i])
		if (V[i]!=fa){
			for (int j=1;j<=Z;j++)
				f[V[i]][j]=f[x][j];
			dfs(V[i],x),sz[x]+=sz[V[i]];
		}
	ot[x]=tt;s[b[x]]+=sz[x];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);B=sqrt(n);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&w[i]),b[i]=(i-1)/B+1;
		if (b[i]!=b[i-1]) c[b[i-1]]=i-1;
	}
	for (int x,y,i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (!x) rt=y;else add(x,y),add(y,x);
	}
	c[Z=b[n]]=n;dfs(rt,0);
	for (int i=n;i;i--) sum[i]+=sum[i+1];
	for (int op,l,r,j;q--;){
		scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
		if (op&1){
			A=r-w[l];w[l]=r;for (j=1;j<=Z;j++)
				s[j]+=A*f[l][j];l=in[l];
			for (j=l;b[j]==b[l];j--) sum[j]+=A;
			for (j=b[j];j;j--) tg[j]+=A;continue;
		}
		A=0;for (j=b[l]+1;j<b[r];j++) A+=s[j];
		for (j=l;j<=c[b[l]] && j<=r;j++)
			A+=sum[in[j]]+tg[b[in[j]]]-sum[ot[j]+1]-tg[b[ot[j]+1]];
		if (b[l]<b[r])
			for (j=c[b[r]-1]+1;j<=r;j++)
				A+=sum[in[j]]+tg[b[in[j]]]-sum[ot[j]+1]-tg[b[ot[j]+1]];
		printf("%lld\n",A);
	}
	return 0;
}