求杨辉三角第n行的第m个数算法的深入研究

杨辉三角：

首先普及一下一些我们并不需要了解的知识（只是想装一下逼罢了...）.

杨辉三角，之所以叫杨辉三角，是因为他在我国数学家杨辉的一本名为《详解九章算法》里出现过，所以后人以他的名义命名，称之为杨辉三角形.

杨辉三角有非常多有趣的性质：

例如第n行上的数字之和就等于2^(n-1).

每个数等于他上面的两个数之和.

第N行的第m个数与第n行的第n-m+1个数相等.

第n行有n个数.

……

and so on.......

然而今天，我要讨论的并非这些性质，而是一个最最基本的问题——如何快速知道第n行第m个数的和——假设有这么一道题目，且数据范围如下：

Way one：

只要按杨辉三角最普通的一个数字等于其左上角、右上角两数之和的性质去模拟即可，再用高精度就可以拿40分了.

Way two：

拿到40分之后，想继续前进就得明白一个最基础的杨辉三角定律：杨辉三角形的第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1).

知道这一简单定律之后，我们就可以根据这一定律计算组合所对应的值，再加高精度，可以做到90分左右，但还是有一个极限数据过不了.

代码：

var
        s:string;
        a,c,ans:array[1..100000] of longint;
        n,m,i,j,k,len,d:longint;
begin
        readln(n,m);
        if (m=1)or(m=n) then
        begin
                writeln(1);
                halt;
        end;
        dec(n);
        a[1]:=n;
        len:=1;
        d:=n;
        for i:=1 to m-2 do
        begin
                d:=d-1;
                str(d,s);
                fillchar(c,sizeof(c),0);
                for j:=1 to len do
                begin
                        c[j]:=c[j]+a[j]*d;
                        c[j+1]:=c[j+1]+c[j] div 10000;
                        c[j]:=c[j] mod 10000;
                end;
                len:=len+length(s);
                while (c[len]=0) and (len>1) do dec(len);
                for j:=1 to len do
                        a[j]:=c[j];
        end;
        if m=2 then ans:=a;
        for j:=2 to m-1 do
        begin
                d:=0;
                for i:=len downto 1 do
                begin
                        ans[i]:=(d*10000+a[i]) div j;
                        d:=(d*10000+a[i]) mod j;
                end;
                while (ans[len]=0)and(len>1) do dec(len);
                for i:=1 to len do
                        a[i]:=ans[i];
        end;
        write(ans[len]);
        for i:=len-1 downto 1 do
                if ans[i]>=1000 then write(ans[i]) else
                if ans[i]>=100 then write('0',ans[i]) else
                if ans[i]>=10 then write('00',ans[i]) else
                write('000',ans[i]);
end.

Way three：

想要继续改进，就得知道问题出在哪里。很明显Way two的问题出在，对于一些数你乘了它，又除了它（或它的因子）显然这些是没必要的操作.

例如：

C(10,6)=10*9*8*7*6*5/6*5*4*3*2*1 

明显，6和5这两个数完全不需要乘一遍，所以，至于怎么实现，就不贴代码了.

其次，因为高精度即使压位了，用运算符*来做依然还是很慢，所以我们可以每次乘一个数再倒过去除一个数，乘的时候从大乘起，除的时候从小除去，这样一来，效率就可以提上，极限数据为0.7s.

Way four：

我们可以继续优化，但是我们需要改变一些计算的方法，但本质并没有变.

因为我们排列组合的时候把许多数都存进去了，但是实际上，如果我们能得到一个所需乘的所有数的因子和所需除的数的所有因子，则我们把这些因子互相减去（可证所乘数的所有因子的任何一个因子的数量绝对不小于所需除的数的因子的数量）最后，剩余的那些因子，我们再乘起来，再压一下位，极限数据0.35s左右就可过，几乎比Way three快一倍。