7.18 图的相关知识

首先，那个师兄跟我们讲了讲图的一些基础，例如邻接矩阵可以用邻接表代替之类什么的（然而在没听过邻接表这个东西的时候就一般都这样储存了，原因是我们拥有智商）。

接下来统一记录我们以前不知道的一些知识：

无向图有向图：其实顾名思义，无向图就是没有方向，只要与其相连的边都可以互相到达。而有向图就是指只能按照一条边边的方向到达一条边。

阶：图中顶点的个数为阶。

完全图：每一条边都与其余的每条边相连（可得知总共有n*(n-1) div 2条边）。

顶点的度：入度——以该点为终点有多少条边可以到达这个点。出度——以该点为起点可以连向多少条边。

（[定理1] 图G中所有顶点的度数之和等于边数的2倍。因为计算顶点的度数时，每条边均用到2次。    

    [定理2] 任意一个图一定有偶数个奇点。）

简单路径：当前一个路径序列中的顶点不重复出现。（路径中存在相同顶点的称之为回路，起点和终点相同的为简单回路）

在无向图中如果对于一个图中的任意两个顶点都可到达，则称之为连通图，否则称之为非连通图。而在有向或无向图中如果任意两个顶点可以互相到达，则称之为强连通图。

稠密图：边数>最大边数/2

稀疏图：边数<最大边数/2

上面都是一些最基础的东西，他还讲了一个算法：Prim算法和Kruskal算法。

分别讲述一下：

Prim算法：就是指当前以点k为起点，从这个点开始生成（任意一个点开始生成都可以，因为始终这个点会被连上）然后找一条当前已选过的点所连的权值最小的一个点，如果这个点还未被连过，则把这个点连上，以此类推，每次连点的时候记录一下就行了。

Kruskal算法：把当前每条边的权值按从小到大排序，然后从头开始判断这条边的两个顶点是否在一个集合里，如果不在的话就用并查集把两个集合并成一个集合，如果已经在一个集合里的话则不能连这个点，然后以此类推，每次连点的时候记录一下就行了。

分析一下两个算法的时间复杂度：

Prim算法因为至多有N个点，当图为完全图的时候，最坏时间复杂度明显是O(n*m)，而kruskal的时间复杂度其实大概是由排序的算法决定的，最精确的应该是O(m*logm)