2016.6.11纪中模拟赛

题目：

https://jzoj.net/junior/#contest/problems/1312

T1：赤裸裸的水题，直接高精度就行了。

T2：（这题本应放到3或4题上，可老师应该是故意放到这里的吧）考试时我先想到的是贪心，随后我又证明了我那种贪心是不可取的，可是我想都没想下去，就认为这道题是dfs+记忆化了。所以，我就开始打记忆化了，可是题目的条件是100000*100000的，但如果开这么大加上longint的范围不用想都会爆空间，所以自以为是的我开到了8000*8000*longint…………然而……最后……提交上去……还是爆……空间……了。无奈的我决定一定要学会计算空间的方法：

1tb=1024gb 

1gb=1024mb 

1mb=1024kb 

1kb=1024b 

1b=8bit

先要清楚Pascal各种类型的取值范围以及所占字节了。

byte——0~255——1b

integer——-32768~32767——2b

longint——-2147483648~2147483647——4b

int64—— -2^63+1~2^63-1——8b

那么考试中我定义的数组是8000*8000的，再乘以一个4=256000000b=250000kb，明显超过了题目限制的128000kb，所以爆空间只能是吸取一个教训了，下次一定不能再犯。

现在说一下正解：其实也是贪心，如果是搜索记忆化的只能得到50分，而贪心并不是按普通的那一种策略，而是要按二分的贪心策略。亦即，对于当前二分的答案mid，判断mid是否可行，如果可行的话....不可行的话....，这些都很容易想到，举例说明：

如样例：

5 3

1 2 8 4 9

先排序：

5 3 

1 2 4 8 9

则答案最短为1，最长为9-1=8，然后mid先等于(l+r) div 2=4

判断当前从第i(i=1)个数开始的第j个数与第i个数的差达到mid，则把i更新为j，然后累加tot，j是一个循环变量，从2~n。

然后当最后的tot>=c的时候则代表mid时间在这n个数里是可行的，但不一定是最优解，为了最优解，我们需要贪心的继续往下二分，一些细节的地方就不说了，自己探讨一下吧。

T3：完全水题，赤裸裸的深搜，注意一下边界和常数就行了。

T4：题目大意是指，对于两个序列a,b，依次取a,b序列里的数（题目中有先后顺序）然后求一个题目要求的最优值，这个最优值是指当前如果在取序列a，如果要转移到序列b就要消耗一次转移，总共有w次转移（当w次转移用尽时则不能取其他序列了），a,b两序列总共有t个数，如何选择转移的时机使得取得的数最多。

根据这道题的数据范围，我们可以看到，如果当我们使用搜索的时候，大概只能得60分，而如果我们加上记忆化则能得大概80分，但是如果要满分的话要使用动态规划。

我们可以先看动态规划题目的几个特性——这道题拥有无后效性，亦即，对于1~i的一个顺序序列数的选择不管如何，都不会对以后的选择产生影响，所以就满足了无后效性的原则。其次此问题具有最优子结构，也就是说，当前的第i个数，总会依赖前面i-1个数的最优值，来产生第i个值，也就是问题的最优解等于其子问题的最优解。

知道这道题可以用动态规划的话，我们可以很容易想到用f[i,j]表示前i个数，总共移动j次的最优值。然后，我们这样想——对于当前第i个数，我们只有可能在a树上选数，或者在b树上选数，而对于这两种情况，所得的状态也都两种，第一种不移动，直接移动i-1次，在第..个树上选数，第二种就是移动，移动i次，在第..个树上选数。

设num1=1表示当前第i个数是第一个树上的——num2=0，num2亦然——num1=0.

状态转移方程：

if j mod 2=1 then
	f[i,j]:=max(f[i-1,j-1]+num1,f[i-1,j]+num2)
        	else
        f[i,j]:=max(f[i-1,j-1]+num2,f[i-1,j]+num1);

边界：

if a[i]=1 then f[i,0]:=f[i-1,0]+1 else f[i,0]:=f[i-1,0];

最后输出max{f[t,i]}即可。

当然，我们可以对其进行空间优化——我们看到，其实这里表示的前i个数，是可以省略的，我们可以直接用f[i]表示移动i次所能获得的最优值。

而边界需有所改变，f[0]表示的必须是当前第枚举到i个数所产生的值，也就是需在动态规划做出决策里面来进行调整边界， 不能在动态规划之外的部分先把边界算好。

其次动态转移方程也变得简略一些：

f[j]={f[j-1]}+1 | j mod 2=a[i]-1

这里的a[i]-1和j mod 2的关系，就不详细讲了，请自己探讨一下。

最后输出max{f[i]}即可。

这样优化之后空间复杂度就由原来的O(n·m)变成了O(m)，空间复杂度和编程复杂度都大大缩小了，而如果想缩小时间复杂度就可以在输入的时候进行动规——这样就三重提高了，可见动态规划的优化是多么重要，当数据极端化的时候往往能带给不一样的收获。（二维也可以用滚动数组）