2015年IMO几何预选题第5题-优快云博客

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在 $\triangle ABC$ 中, $D$ , $F$ , $G$ 分别为 $A B$ , $A C$ , $BC$ 三边中点. 过点 $C$ 且切 $A B$ 于点 $D$ 的圆交分别交 $A B$ , $A C$ 于 $H$ , $I$ . $H$ 关于 $F$ 的对称点为 $H^{'}$ , $I$ 关于 $G$ 的对称点为 $I^{'}$ . $FG$ , $H^{'} I^{'}$ 交于 $M$ , $CM$ 交于 $P$ . $Q$ 为 $H^{'} I^{'}$ 与 $C D$ 的交点. 求证: $QP = QC$ .

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证明:

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显然, $D F // BC$ , $D G // A C$ , $FG // A B$ . $\triangle BDI\sim \triangle BCD$ , $\triangle ADH\sim \triangle ACD$ .

延长 $D F$ 交 $H^{'} I^{'}$ 于 $X$ , 延长 $D G$ 交 $H^{'} I^{'}$ 于 $Y$ .

证明 $X$ 在 $(HD I)$ 上:

只需证: $FX \cdot FD=FH \cdot FC$

$\cdot CI'$

只需证: $C I^{'} / C H^{'} = FC / F D$ $\iff$ $C I^{'} / C H^{'} = A C / BC$

$CI'/CH'=BI/AH=\frac{BI/BD}{AH/AD}=\frac{\sin \angle BDI/\sin \angle BID}{\sin \angle ADH/\sin \angle AHD}=\frac{\sin \angle DCB}{\sin \angle DCA}=\frac{AC}{BC}$ , 因此 $X$ 在 $(DH I)$ 上.

( $\frac{\sin \angle DCB}{\sin \angle DCA}=\frac{S_{\triangle DCB}/BC}{S_{DCA}/AC}=\frac{AC}{BC}$ )

可类似地证明 $Y$ 也在 $(HD I)$ 上.

$\angle H'I'C=\angle DXY=\angle BDG=\angle BAC$

所以 $H^{'}$ , $I^{'}$ , $B$ , $A$ 共圆.

设过 $H^{'}$ , $I^{'}$ , $C$ 的圆交 $(HD I)$ 于 $P^{'}$ , $C$ .

$FH\cdot FC=FH'\cdot FA$ , $GI \cdot GC=GI'\cdot GB$ , 所以 $F$ , $G$ 在 $(A B I^{'} H^{'})$ 和 $(HD I)$ 的根轴上.

由根心定理, $FG$ , $H^{'} I^{'}$ , $C P^{'}$ 共点 ( $M$ ), 进而可知 $P^{'}$ 即为 $P$ .

$\angle MFX=\angle DFG=\angle GYX$ , 所以 $F$ , $X$ , $Y$ , $G$ 四点共圆.

$MF \cdot MG=MX \cdot MY=MC \cdot MP$ , 因此 $F$ , $G$ , $C$ , $P$ 共圆.

分别设 $(HD I)$ 和 $(H^{'} I^{'} C)$ 的圆心为 $O_1$ , $O_2$ .

易知 $\triangle CH'I' \sim \triangle DYX$ . $\angle QCI'=\angle FDC$ , $\triangle I'O_1H' \sim \triangle XO_2Y$ , 由此可知 $Q I^{'} / Q H^{'} = QX / Q Y$ , 即 $Q I^{'} / QX = Q H^{'} / Q Y$ .