归并排序(MERGE_SORT)

本文深入讲解了归并排序算法的原理及其C语言实现过程。通过分治法将原问题分解为若干子问题,并递归地解决这些子问题,最终合并得到排序后的结果。文章详细介绍了归并排序的每一步骤,并提供了完整的C语言代码示例。

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归并排序(MERGE_SORT)

    1)分治思想 :归并排序用到了一种称为分治法的设计方法,分治法的思想就是将原问题的分解成为几个规模小的但是类似于原问题的子问题,递归的求解子问题,之后再合并子问题的解,来组成原问题的解。

    2)原理 :根据分治方法的思想,归并排序算法的基本操作分为三大步:分解,解决问题,合并结果。以一个需要排序的数组为例,分解也就是不停地递归分解问题,直到问题的规模降为1,然后开始合并。

    3)C语言实现

void merge(int from, int mid, int to, int* a)
{
    //新建了一个辅助的数组,用来暂时寄存merge时的数组
    int left_top, right_top, index, count, *t;
    index = 0;
    //左半边的等待merge数组的顶端
    left_top = from;
    //右半边的等待merge数组的顶端
    right_top = mid + 1;
    //整个merge后的数组长度
    count = to - from;
    t = (int*)malloc( (count + 1) * 2);
    //不断的从左右两个需要merge的子数组中取出顶端较小的数字
    //直到其中一个数组取尽
    while ((left_top <= mid) && (right_top <= to))
    {
        if (a[left_top] < a[right_top])
        {
            t[index++] = a[left_top++];
        }
        else
        {
            t[index++] = a[right_top++];
        }
    }
    //下面两个while循环
    //作用是将还没有取尽的数组元素放入merge时的暂存数组中
    while (left_top <= mid)
    {
        t[index++] = a[left_top++];
    }
    while (right_top <= to)
    {
    t[index++] = a[right_top++];
    }
    //将merge暂存数组的结果给原数组
    for (int i = 0; i <= count; i++)
    {
        a[from++] = t[i];
    }
}

void merge_sort(int from, int to, int* a)
{
    if (from < to)
    {
        //分解问题
        int mid = (from + to) / 2;
        merge_sort(from, mid, a);
        merge_sort(mid + 1, to, a);
        //开始合并
        merge(from, mid, to, a);
    }
}

void main()
{
    int count, *p;
    printf("please input the count :");
    scanf_s("%d", &count);
    p = (int *)malloc(count * 2);
    printf("\nplease input the number to be sorted : \n");
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        scanf_s("%d", p+i);
    }

    merge_sort(0, count-1, p);

    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        printf("%d ", p[i]);
    }
    system("pause");
}

    3)分析:上面实现的MERGE_SORT算法在输入的数字数量为奇数和偶数的时候都可以正常的工作,但是这里我们为了方便分析效率,将问题的规模假设为2的幂,在每次分解问题的时候都可以分成n/2。我们按照三个步骤来分析效率:

  • 分解:分解步骤只需要找到数组的中间位置,因此时间是常数O(1)。
  • 解决:分解之后,需要递归的求解两个规模为n/2的子问题,花费时间为2T(n/2)。
  • 合并:将两个长度为n/2是的数组合并成一个长度为n的数组,相当于将n个元素都遍历了一遍,时间复杂度为O(n)。

    因此我们可以写出T(n)和T(n/2)的关系表达式,T(n) = 2T(n/2) + cn(c为常数);后面会分析可以从这个式子导出T(n) = O(nlgn)。

### 归并排序的实现原理 归并排序是一种基于分治法(Divide and Conquer)的有效排序算法。其核心思想是通过将待排序数组分割为更小的部分,分别对这些部分进行排序后再将其合并成为一个整体有序的结果[^1]。 具体来说,归并排序的过程可以分为以下几个方面: #### 1. **分解** 整个数据集被递归地划分为较小的子集合,直到每个子集合仅包含单个元素为止。因为单一元素本身已经是有序的,所以这一步骤完成了基础单元的创建[^2]。 #### 2. **合并** 当所有的子集合都已经被拆解到最小单位之后,开始逐步地把它们两两合并起来,在每次合并的过程中都会确保新形成的组合也是按照顺序排列好的。这种“归并”的过程会一直持续下去,直至最终形成一个完整的、完全有序的数据列表[^3]。 以下是归并排序的核心伪代码表示: ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr mid = len(arr) // 2 left_half = merge_sort(arr[:mid]) right_half = merge_sort(arr[mid:]) return merge(left_half, right_half) def merge(left, right): sorted_array = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: sorted_array.append(left[i]) i += 1 else: sorted_array.append(right[j]) j += 1 sorted_array.extend(left[i:]) sorted_array.extend(right[j:]) return sorted_array ``` 这段代码展示了如何使用 Python 来实现归并排序的功能。其中 `merge` 函数负责执行实际的合并操作,而 `merge_sort` 则控制着递归调用以及何时停止进一步划分输入数组。 ### 时间复杂度分析 由于每一次都将当前序列分成两半处理,并且每一层都需要遍历全部 n 项来进行比较和移动,因此总的运行时间为 O(n log n)。 ### 稳定性特点 值得注意的是,归并排序属于稳定性的排序方式之一,这意味着即使存在相等的关键字记录也不会改变彼此原有的次序关系。
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