算法：递推求解

基本方法：

首先，确认能否容易地得到简单情况的解？然后，假设规模为N-1的情况已经得到解。最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。

正确分类，要包含不重复的所有情况

编程中的空间换时间的思想，并不一定只是从N-1到N的分析

错排问题

错排式

基本形式：d[1]=0; d[2]=1
递归式：d[n]= (n-1)( d[n-1] + d[n-2]) 通项公式：

卡特兰数

公式：

设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足

递推式：

h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n≥2)

h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1)

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

递推关系的另类解为：

h(n)=C(2n,n) - C(2n,n-1) (n=0,1,2,…) //理解：翻折思想 https://blog.youkuaiyun.com/qq_30115697/article/details/88906534

特征：都能找到一个点，将该问题分成两个同样性质的子问题

引例：

• HDOJ小兔的棋盘（此题另一种分析，根据递推的思路，到每个点只能是通过它左边和下面的点走到的，故到该点的走法数t[i][j]=t[i-1] [j]+t[i] [j-1]

• Games of Connections

应用：

• n对括号的合法配对方案书

  矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案。（ h(n) 种）

• n个节点的二叉树的形态数

• n+1个叶子(n个非叶节点)的满二叉树的形态数, 走到左儿子+1,走到 右儿子-1,类似于括号匹配

• n个数入栈后出栈的排列总数

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

  分析：

  ​ 设 f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。

  ​ 首次出空之前第一个出栈的序数k将1_{n的序列分成两个序列，其中一个是1}k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

  ​ 此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的 f(n) =f(k-1) × f(n-k)。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + …… + f(n-1)f(0)。

  ​ 类似问题：买票问题。 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

• 对凸n+2边形进行不同的三角形分割的方案数(分割线断点仅为顶点，且分割线仅在顶点上相交)

  ​ 类似问题：小兔的棋盘、 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数

• n层的阶梯切割为n个矩形的切法数

前几项：1，1，2，5，14，42，132，429，1430……（注意，如果是前30项能用long long存储，40项之后long long型的数组也存不下了）

例题

HDOJ统计问题