<think>
根据用户需求，需要提供Codeforces 1617B题目的解题方案。首先，我需要回忆或查找该题目的内容。题目编号1617B对应的是Codeforces Round #767 (Div. 2)的B题，题目名称为"GCD Problem"。
题目描述大致如下：给定一个正整数$n$（$n \geq 10$），要求找到三个互不相同的正整数$a$, $b$, $c$，满足以下条件：
1. $a + b + c = n$
2. $\gcd(a, b) = c$
注意：$a$, $b$, $c$必须是互不相同的正整数。
解题思路：
1. 由于$c$是$a$和$b$的最大公约数，我们可以设$a = c \cdot d$，$b = c \cdot e$，其中$d$和$e$是互质的整数（即$\gcd(d,e)=1$）。
2. 那么，$a + b + c = c \cdot d + c \cdot e + c = c \cdot (d + e + 1) = n$。
3. 因此，$c$必须是$n$的一个因子。但直接枚举因子可能比较复杂，我们可以尝试构造。
4. 注意到题目要求$a$、$b$、c互不相同，且$c=\gcd(a,b)$，我们可以尝试固定$c=1$，那么问题转化为：找到两个互质的正整数$d$和$e$，使得$d+e+1 = n$（因为$c=1$），即$d+e = n-1$，且$a=d, b=e, c=1$，同时要保证$a,b,c$互不相同。
5. 但是，如果$c=1$，那么$d$和$e$需要满足$d+e=n-1$且$\gcd(d,e)=1$。我们可以选择$d=1$，那么$e=n-2$，此时$\gcd(1, n-2)=1$，所以$a=1, b=n-2, c=1$。但是这里$a=1$和$c=1$相同，违反了互不相同的条件。
6. 因此，我们需要调整。我们可以取$c$为一个不等于1的数？但是题目要求互不相同，同时$c$是$a$和$b$的公约数，而且$c$应该小于$a$和$b$。我们可以尝试取$c$为$n$的某个真因子，但这样可能复杂。
另一种思路：
- 由于$n$比较大（$n \geq 10$），我们可以尝试令$c$为一个较小的数，比如$c=1$，然后寻找两个互质的数$d$和$e$，使得$d+e=n-1$，且$d,e \geq 2$（这样保证$a,b,c$互不相同）。
- 因为$d$和$e$互质，且$d+e=n-1$，那么我们可以取$d=2$，那么$e=n-3$，此时需要满足$\gcd(2, n-3)=1$。如果$n-3$是奇数，那么$\gcd(2, n-3)=1$（因为2和任何奇数互质）。那么，当$n$是偶数时，$n-3$是奇数吗？注意$n$是偶数时，$n-3$是奇数，所以成立；当$n$是奇数时，$n-3$是偶数，那么$\gcd(2, n-3)=2$（如果$n-3$是偶数），所以不互质。因此，当$n$为奇数时，不能取$d=2$。
改进：
- 我们可以取$d$和$e$为两个相邻的数？因为相邻的数互质。设$d$和$e$为两个相邻的正整数，那么$d$和$e$互质，且$d+e=k$（这里$k=n-1$）。那么我们可以取$d = \lfloor k/2 \rfloor$，$e = \lceil k/2 \rceil$，但是要注意相邻的两个整数互质，但这里$d$和$e$不一定相邻，而是和为$k$的两个相邻整数？实际上，任意两个相邻整数互质，所以我们只需要找到两个相邻的整数，使得它们的和为$n-1$？显然，$n-1$是奇数时，可以拆成两个相邻整数（一奇一偶）且互质。但$n-1$为偶数时，相邻整数只能是一奇一偶，但$n-1$为偶数时，两个相邻整数的和是奇数，矛盾？所以当$n-1$是偶数时，我们无法拆成两个相邻整数。
重新考虑：我们只需要两个互质的数，不一定相邻。当$n$为奇数时，我们可以这样构造：
令 $c=1$，则 $d+e = n-1$，且$d,e$互质。我们可以取$d=2$，那么$e=n-3$，但是$n$是奇数，$n-3$是偶数，所以$\gcd(2, n-3)=2$（除非$n-3=2$，即$n=5$，但$n>=10$，所以不行）。那么取$d=3$，$e=n-4$，此时需要$\gcd(3, n-4)=1$。由于$n$是奇数，$n-4$也是奇数，所以不一定互质，但我们可以尝试。
实际上，我们可以取$d$为小于$n-1$的一个较小的数，使得$d$和$e=n-1-d$互质。因为$n-1$是偶数（当$n$为奇数时，$n-1$为偶数），那么我们可以取$d$为奇数？因为两个奇数的和是偶数，而$n-1$是偶数，所以我们可以取两个奇数？但是两个奇数不一定互质。
有一个简单的构造方法：
令 $c=1$，则我们需要将$n-1$拆成两个互质的数$d$和$e$，且$d,e \geq 2$（这样$a,b$至少为2，而$c=1$，所以三者互不相同）。那么，我们可以取$d=2$，$e=n-3$，然后检查$\gcd(2, n-3)$是否为1。当$n$为偶数时，$n-3$是奇数，所以$\gcd(2, n-3)=1$，成立。当$n$为奇数时，$n-3$是偶数，所以$\gcd(2, n-3) \geq 2$，不成立。因此，当$n$是奇数时，我们可以取$d=3$，那么$e=n-4$，此时$n-4$是奇数（因为$n$是奇数，减4还是奇数），那么$\gcd(3, n-4)$可能等于1也可能大于1。但是，由于$n$足够大（$n \geq 10$），我们可以确保存在一个较小的$d$使得$d$和$n-1-d$互质。
实际上，我们可以取$d$为小于$n-1$的质数，那么只要$n-1-d$不是$d$的倍数，就互质？但这样不一定，因为互质要求没有共同的质因子。
更简单的构造：取$d$为大于1的奇数，且$d$和$n-1-d$互质。由于$n-1$是偶数（当$n$为奇数时），那么$d$和$n-1-d$都是奇数，且它们相差$2d-(n-1)$？我们可以取$d$为3，然后检查$n-4$是否是3的倍数？如果不是，则$\gcd(3, n-4)=1$。如果是3的倍数，那么我们可以尝试$d=5$，直到找到一个$d$使得$d$和$n-1-d$互质。由于$n-1$是偶数，而$d$是奇数，$n-1-d$也是奇数，所以只要$d$和$n-1-d$没有共同的质因子即可。
但是，题目要求$d$和$e$互质，且$d,e \geq 2$，我们可以固定$d=2$或$d=3$？实际上，我们可以这样：
当$n$是偶数时，取$a=2, b=n-3, c=1$（因为$n$是偶数，$n-3$是奇数，所以$gcd(2, n-3)=1$）。
当$n$是奇数时，取$a=3, b=n-4, c=1$，然后检查$n-4$是否是3的倍数？如果是，那么我们需要调整，比如取$d=4$？但是$d=4$和$e=n-5$不一定互质。实际上，我们可以避免检查：取$d$和$e$分别为$(n-1)/2-1$和$(n-1)/2+1$？这样它们都是奇数，且相邻（差2），那么它们的最大公约数可能是2？但是相邻奇数互质？不对，相邻奇数是指相差2，它们不一定互质（例如15和25，相差10，但可以互质？但15和25不互质）。相邻奇数（相差2）不一定互质，例如9和15，相差6，但都有因子3。
实际上，我们可以这样：因为$n$是奇数，所以$n-1$是偶数。那么我们可以取$d$为2，$e$为$n-3$，但是$n-3$是偶数，所以不互质。那我们取$d$为1？不行，因为$a=c\cdot d$，如果$d=1$，那么$a=c$，但$c=1$，则$a=1$，与$c$相同，而且$b$会等于$n-2$，那么$c=1$，$a=1$，$b=n-2$，这样$a$和$c$重复。
因此，我们改变思路：不固定$c=1$。我们可以取$c$为其他值。
另一种常见的构造：
取$c$为$n$的因子，且$c$较小。例如，我们可以取$c$为$n$除以2的某个因子？但题目要求$c=\gcd(a,b)$，且$a,b,c$互不相同。
观察题目样例：$n=10$，输出$1,2,7$？不对，因为$1+2+7=10$，但$\gcd(1,2)=1$，所以$c=1$，即$a=1,b=2,c=1$？这里$a$和$c$相同，不符合。实际上，题目样例的答案是：$n=10$，输出$3,5,2$，因为$3+5+2=10$，且$\gcd(3,5)=1$？不对，应该是$\gcd(3,5)=1$，而$c=2$？不对，因为$\gcd(3,5)=1$，不等于2。所以重新检查题目。
实际上，题目1617B的样例：输入10，输出4 5 1（因为4+5+1=10，且gcd(4,5)=1，而c=1，满足条件）。但是题目要求$\gcd(a,b)=c$，这里$\gcd(4,5)=1$，所以c=1，满足。
所以正确的构造是：令$c=1$，然后取$a$和$b$为两个互质的数，且$a+b=n-1$，并且$a,b \geq 2$，且$a,b$互不相同。
那么，对于任意$n \geq 10$，我们如何快速找到两个互质的数$a,b$满足$a+b=n-1$且$a,b \geq 2$？
- 当$n$是偶数时，$n-1$是奇数，那么我们可以取$a=2$，$b=n-3$（因为$n$是偶数，$n-3$是奇数，所以$a$是偶数，$b$是奇数，且$\gcd(2, n-3)=1$，因为$n-3$是奇数）。
- 当$n$是奇数时，$n-1$是偶数，那么我们可以取$a=3$，$b=n-4$（$n$是奇数，$n-4$也是奇数），那么$\gcd(3, n-4)$是否等于1？不一定，比如当$n-4$是3的倍数时，$\gcd(3, n-4)\ge3$。例如$n=13$，$n-4=9$，$\gcd(3,9)=3$，不满足。所以我们需要调整。
对于$n$是奇数的情况，我们可以取$a$为大于1的奇数，且与$b=n-1-a$互质。因为$n-1$是偶数，所以$a$和$b$都是奇数。我们可以从3开始，每次增加2（即取3,5,7,...），直到找到一个$a$使得$\gcd(a, b)=1$。由于$n$比较大（$n\ge10$），且$n-1$是偶数，所以$b=n-1-a$也是奇数，且随着$a$增大，$b$减小。由于连续的两个奇数互质？不一定，但我们可以保证在较小的范围内找到。实际上，我们可以取$a$为一个小于$n-1$的质数，那么只要$b$不是这个质数的倍数，就互质。但是$b$可能是这个质数的倍数，所以我们不能保证。
另一种思路：我们取$a$为$(n-1)/2$附近的数。例如，取$a = (n-1)/2 - t$，$b = (n-1)/2 + t$，其中$t$为正整数。那么$a$和$b$都是整数，且关于$(n-1)/2$对称。我们需要$\gcd(a,b)=1$。由于$a$和$b$都是奇数（因为$n-1$是偶数，所以$(n-1)/2$是整数），且它们的差是$2t$，所以它们同奇偶（都是奇数）。而两个奇数互质的概率较大。实际上，我们可以取$t=1$，则$a=(n-1)/2-1$，$b=(n-1)/2+1$，那么有$\gcd(a,b)=\gcd(a, a+2)$（因为$b=a+2$），而$\gcd(a, a+2)=\gcd(a,2)$。由于$a$是奇数（因为$n-1$是偶数，$(n-1)/2$是整数，那么$a$和$b$都是整数，且$a$是奇数，因为$(n-1)/2$是整数，减去1还是整数，而$n$是奇数，$n-1$是偶数，所以$(n-1)/2$是整数，且$a=(n-1)/2-1$是奇数？因为$(n-1)/2$是整数，而$n-1$是偶数，所以$(n-1)/2$可能是奇数也可能是偶数。但$a$和$b$都是整数，且$b=a+2$。$\gcd(a, a+2)=\gcd(a,2)$，因为$a$是奇数（因为$n$是奇数，$n-1$是偶数，而$a=(n-1)/2-1$，由于$(n-1)/2$是整数，而$n-1$是偶数，所以$(n-1)/2$的奇偶性取决于$n$。例如$n=11$，$n-1=10$，$(n-1)/2=5$，则$a=5-1=4$，$b=5+1=6$，但4和6都是偶数，且$\gcd(4,6)=2$。所以不成立。
因此，我们需要更直接的构造。实际上，我们可以取$c$为$n$的一个真因子，但这样构造复杂。我们再看题目，题目要求三个互不相同的正整数，且$c=\gcd(a,b)$，那么$c$一定小于等于$a$和$b$，且$c$至少为1。
实际上，我们可以取$c$为2？那么$a$和$b$都是2的倍数，且$a+b=n-2$。那么我们可以设$a=2, b=n-4$，那么$c=2$，则$a=2, b=n-4, c=2$，这样$a$和$c$相同，不行。所以我们需要$a$和$b$大于2，且是2的倍数，且互质？但两个大于2的偶数不可能互质（因为它们都有因子2）。所以取$c=2$也不行。
我们取$c=3$？那么$a$和$b$都是3的倍数，设$a=3, b=3k$，则$a+b+c=3+3k+3=3(k+2)=n$，所以$n$必须是3的倍数。但$n$不一定是3的倍数，所以不行。
因此，我们回到$c=1$。对于$n$为奇数的情况，我们取$a$和$b$为两个奇数，且和为$n-1$，且互质。我们可以取$a=3$，$b=n-4$，如果$\gcd(3, n-4)=1$，则成立；否则，取$a=5$，$b=n-6$，如果$\gcd(5, n-6)=1$，则成立；以此类推。由于$n$是固定的，且$n$足够大，我们只需要尝试几个较小的奇数就可以找到。实际上，因为$n-1$是偶数，而奇数$a$的范围可以从3到$n-4$，所以总存在一个$a$使得$\gcd(a, n-1-a)=1$？并且由于$n$足够大，我们可以很快找到。
但是，我们能不能不枚举？我们可以取$a$为小于$n-1$的一个质数$p$，那么只要$n-1-p$不是$p$的倍数，那么$\gcd(p, n-1-p)=1$。因为$n-1-p$如果是$p$的倍数，则$n-1-p \equiv 0 \pmod p$，即$n-1 \equiv 0 \pmod p$，所以$p$是$n-1$的因子。那么，我们取一个不是$n-1$的因子的质数$p$，且$p<n-1$，那么一定满足$\gcd(p, n-1-p)=1$。由于$n-1$的因子个数有限，而小于$n-1$的质数很多，所以一定存在。
在竞赛中，我们可以这样构造：
- 当$n$是偶数时，取$a=2, b=n-3, c=1$。
- 当$n$是奇数时，取$a$为一个很小的奇质数（比如3），然后检查$b=n-1-a$是否与$a$互质（即检查$\gcd(a, b)=1$），如果成立，则输出$a, b, c=1$；否则，尝试下一个质数（比如5）。由于$n$比较大，很快就能找到。
实际上，我们可以取$a$为3,5,7,...，不一定非要是质数，只要$a$和$b$互质即可。但是，使用质数可以更快地排除倍数关系。我们可以从3开始，每次加2（保证是奇数），然后检查$\gcd(a, n-1-a)=1$，直到找到为止。由于$n$很大，而$n-1$的因子个数很少，所以很快就能找到一个与$n-1$互质的$a$（注意，这里不是要求$a$与$n-1$互质，而是要求$a$与$b=n-1-a$互质，而$\gcd(a, b)=\gcd(a, n-1)$，因为$b=n-1-a$，所以$\gcd(a, b)=\gcd(a, n-1-a)=\gcd(a, n-1)$。因此，我们需要$\gcd(a, n-1)=1$。那么，我们只需要选择一个与$n-1$互质的数$a$（$2\leq a \leq n-3$）即可。由于$n-1$是偶数（当$n$为奇数时），所以$a$不能是偶数（否则$\gcd(a, n-1)\ge2$），所以$a$必须是奇数。而$n-1$的质因子是有限的，我们只需要选一个不包含$n-1$的质因子的数。我们可以选择$a$为大于1的最小奇数，使得$\gcd(a, n-1)=1$。例如，$n=15$（奇数），$n-1=14$，14的质因子为2和7。那么我们可以取$a=3$（3和14互质），则$b=14-3=11$，$\gcd(3,11)=1$，所以$a=3, b=11, c=1$。
所以构造方法：
1. 令$c=1$。
2. 若$n$为偶数，则取$a=2$，$b=n-3$（因为$n$为偶数，$n-3$为奇数，$\gcd(2, n-3)=1$）。
3. 若$n$为奇数，则取一个最小的奇数$a$（$a\ge3$），使得$\gcd(a, n-1)=1$。由于$n-1$是偶数，且$a$是奇数，所以$\gcd(a, n-1)$只与$n-1$的奇质因子有关。我们可以从3开始，5,7,...递增，直到找到一个与$n-1$互质的$a$，然后令$b=n-1-a$。
注意：$a$必须小于$n-1$，且大于1，并且与$b$不同（因为$b=n-1-a$，而$a$至少为3，$b$至少为$n-1-3$，而$n>=10$，所以$b$至少为6，所以不会相等。同时，$c=1$，与$a,b$不同。
因此，算法步骤：
- 读入$n$
- $c=1$
- 如果$n$是偶数：
- $a=2$
- $b=n-3$
- 否则（$n$是奇数）：
- $m = n-1$
- $a=3$
- 循环，直到$\gcd(a, m)==1$：
$a = a+2$ # 注意，这里每次加2，保持为奇数
- $b = m - a$
- 输出$a, b, c$
但是，这里有一个问题：当$n$是奇数时，$a$从3开始，然后5,7,...，直到找到与$m$互质的数。由于$m$是偶数，所以$a$只需要是奇数，且与$m$没有共同的奇质因子。而$m$的奇质因子个数有限，所以很快。但是，要确保$a$和$b$都是正整数，且$a,b\ge2$。由于我们取$a$至少为3，那么$b=m-a$，而$m=n-1$，$n\ge10$，$m\ge9$，$a$最大不会超过$m-2$（因为至少留2给$b$），所以$b\ge2$。
但是，在循环中，$a$会一直增加，直到找到满足条件的$a$。由于$m$是偶数，所以一定存在奇数$a$使得$\gcd(a, m)=1$（例如，取$a$为大于$m$的最大质数？不对，我们是从小到大取）。实际上，由于$m$的互质数一定存在，且小于$m$的互质数有很多，所以很快。
但是，我们可以优化：因为$m$的质因子是固定的，我们可以预先知道$m$的质因子，然后跳过这些质因子的倍数。但在竞赛中，直接枚举奇数并检查gcd即可，因为$m$的质因子个数很少，枚举次数不会很多。
另外，注意特殊情况：当$n$为奇数时，$a$不能取$m$的质因子的倍数。例如，$m$有质因子3,5,7等，那么$a$就不能是3,5,7的倍数。但是，我们从小到大取奇数，第一个不被$m$的质因子整除的奇数就是我们要的。由于$m$的质因子集合为$S$，那么最小的不包含$S$中因子的奇数可能很小。
例如，$m=14$（当$n=15$），质因子为2和7（但2不考虑，因为$a$是奇数），那么$a$不能是7的倍数。最小的奇数3，3不是7的倍数，所以取3。
再如，$m=30$（$n=31$），质因子有2,3,5（奇数因子为3,5），那么最小的奇数3是3的倍数，跳过；5是5的倍数，跳过；7不是3或5的倍数，所以取7，$b=30-7=23$，$\gcd(7,23)=1$，成立。
因此，我们可以这样实现。
但是，题目要求$c$是正整数，且$a,b,c$互不相同。在我们的构造中，$c=1$，$a$和$b$都大于1，且$a$和$b$不相等（因为$n-1$是偶数，而$a$和$b$都是奇数，且$a \neq b$，因为如果$a=b$，则$a+a=n-1$，即$2a=n-1$，但$n-1$是偶数，所以$a$为整数，但此时$a=(n-1)/2$，那么$b=(n-1)/2$，与$a$相等，但题目要求互不相同。因此，我们取$a$和$b$不相等，而我们的构造中，$a$从3开始，$b=n-1-a$，而$n-1\ge9$，$a$最小为3，$b$最小为$n-1-3\ge6$，所以$a$和$b$不相等。同时，$c=1$，与$a,b$也不相等（因为$a,b\ge3$和$6$，都大于1）。
但是，当$n$为偶数时，$a=2$，$b=n-3$，$c=1$，那么$2$和$1$不相等，$n-3$和$1$也不相等，$2$和$n-3$：当$n=10$时，$b=7$，所以2和7不相等；当$n=12$时，$b=9$，2和9也不相等。所以满足。
因此，我们总结：
- 对于任意$n \ge 10$，令$c=1$。
- 如果$n$是偶数，则令$a=2, b=n-3$。
- 如果$n$是奇数，则从$a=3$开始，每次$a$增加2（保持为奇数），直到找到一个$a$使得$\gcd(a, n-1)=1$，然后令$b=n-1-a$。
注意：在$n$为奇数时，$a$的取值范围是$3\le a \le n-4$（确保$b=n-1-a\ge2$，即$a\le n-3$）。由于$n$是奇数且$n\ge10$，$n-1\ge9$，所以$a$从3到$n-4$（奇数）是可行的。
代码实现（C++）：
```cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
int a, b, c = 1;
if (n % 2 == 0) {
a = 2;
b = n - 3;
} else {
int m = n - 1; // m is even
a = 3;
// 循环直到找到一个a使得gcd(a, m)==1
while (gcd(a, m) != 1) {
a += 2;
}
b = m - a;
}
cout << a << " " << b << " " << c << endl;
}
return 0;
}
```
注意：在$n$为奇数时，$a$从3开始，每次加2，直到找到满足条件的$a$。由于$m$是偶数，而$a$是奇数，所以$\gcd(a, m)$可能大于1，但总存在一个奇数$a$（比如大于$m$的最大质因子）与$m$互质，所以循环会终止。
这个算法的时间复杂度：最坏情况下，$m$的奇质因子很多，但$m$不超过$2\cdot10^5$（题目中$n$的范围？题目没有给出具体范围，但$n\ge10$，且$t$组测试数据，$t$最多多少？题目没给，但一般$t$不超过$10^4$。而内层循环次数：最坏情况下，$m$的互质奇数最小是多少？根据数论，不超过$m$的互质数存在，且最小的大概在$O(\log m)$级别？实际上，最坏情况下，我们枚举的次数最多为$m$的奇质因子个数乘以某个常数，而$m$的质因子个数为$O(\log m)$，所以枚举次数最多几十次。所以总复杂度为$O(t \cdot \log n)$，可以接受。
因此，按照这个方案即可。
输出格式：对于每个测试用例，输出三个整数$a, b, c$，满足条件。
现在，按照用户要求，生成相关问题。
相关问题：
1. 为什么在$n$为奇数时，需要寻找一个与$n-1$互质的奇数$a$？
2. 如何证明在$n$为奇数时，一定存在一个奇数$a$（$3\le a\le n-4$）满足$\gcd(a, n-1)=1$？
3. 除了$c=1$的构造，还有没有其他构造方法？
4. 如果$n$小于10，题目是否有解？
</think>### Codeforces 1617B "GCD Problem" 解题方案
#### 题目描述
给定一个整数 $n$（$n \geq 10$），要求找到三个**互不相同**的正整数 $a, b, c$，满足以下条件：
1. $a + b + c = n$
2. $\gcd(a, b) = c$
#### 解题思路
1. **核心观察**：
由于 $\gcd(a, b) = c$，可设 $a = c \cdot d$，$b = c \cdot e$，其中 $d$ 和 $e$ 互质（$\gcd(d, e) = 1$）。
则原条件转化为：
$$
c \cdot d + c \cdot e + c = n \implies c \cdot (d + e + 1) = n
$$
因此，$c$ 必须是 $n$ 的因子。但直接枚举因子较复杂，可通过构造简化。
2. **关键构造**：
固定 $c = 1$，则问题简化为：
- $d + e = n - 1$
- $\gcd(d, e) = 1$
- $d, e \geq 2$（确保 $a, b, c$ 互不相同）
3. **分类讨论**：
- **当 $n$ 为偶数时**：
$n - 1$ 是奇数，取 $d = 2$，$e = n - 3$。
此时 $\gcd(2, n - 3) = 1$（因为 $n - 3$ 是奇数），且 $a = 2, b = n - 3, c = 1$ 互不相同。
- **当 $n$ 为奇数时**：
$n - 1$ 是偶数，需寻找奇数 $d \geq 3$ 使得 $\gcd(d, n - 1) = 1$（因为 $\gcd(d, e) = \gcd(d, n - 1)$）。
从 $d = 3$ 开始，每次增加 2（保持奇数），直到找到满足条件的 $d$，则 $e = n - 1 - d$。
#### 代码实现（C++）
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
int a, b, c = 1;
if (n % 2 == 0) {
a = 2;
b = n - 3;
} else {
int m = n - 1;
a = 3;
while (gcd(a, m) != 1) {
a += 2;
}
b = m - a;
}
cout << a << " " << b << " " << c << endl;
}
return 0;
}
```
#### 算法分析
- **正确性**：
- $n$ 为偶数时，$a=2, b=n-3, c=1$ 满足 $\gcd(2, n-3)=1$ 且互不相同。
- $n$ 为奇数时，由于 $n-1$ 的互质数一定存在，且奇数 $d$ 的枚举范围 $[3, n-4]$ 足够大，必能找到解。
- **时间复杂度**：
- 外层循环 $t$ 次（测试用例数），内层循环最多 $O(\log n)$ 次（与 $n-1$ 的质因子个数相关）。
- 整体复杂度 $O(t \log n)$，满足竞赛要求。
#### 示例
- **输入**：$n = 10$（偶数）
**输出**：$a=2, b=7, c=1$（$2+7+1=10$，$\gcd(2,7)=1$）
- **输入**：$n = 15$（奇数）
**输出**：$a=3, b=11, c=1$（$3+11+1=15$，$\gcd(3,11)=1$）
[^1]
本文介绍了一种关于蛋糕包装的问题，通过不同的算法优化策略，包括O(n^3k)、O(n^2k)及O(nk)的时间复杂度优化过程，实现对蛋糕连续分割以达到最大总价值。
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