凸优化学习笔记(1)续

来看一些重要的凸集合。
首先看一些简单的。
- 空集$\emptyset$，单点集$\{x_0\}$，全空间$\mathbf{R}^n$都是仿射的，也是凸的。
- 任意直线是仿射的，凸的。如果直线通过原点就是凸锥。
- 一条线段是凸的，但不仿射(除非退化为一个点)。
- 一条射线是凸的，但不仿射。如果射线的起点是原点，就是凸锥。
- 任意子空间是仿射的、凸锥，自然也是凸的。

超平面与半空间

超平面的定义为：

$$\{x|a^Tx=b\},$$
其中$a\in\mathbf{R}^n,a\neq0$且$b\in \mathbf{R}$。超平面是非平凡线性方程组的解空间，因此是仿射的。几何上讲，超平面$\{x|a^Tx=b\}$是与向量$a$的内积为$b$的点的集合。为便于理解，还可以将超平面表示成
$$\{x|a^T(x-x_0)=0\},$$
其中$x_0$是超平面上任意一点。进一步，超平面还可以写成
$$\{x|a^T(x-x_0)=0\}=x_0+a^{\bot},$$
这里$a^{\bot}$表示$a$的正交补，即与$a$正交的向量的集合:
$$a^{\bot}=\{v|a^Tv=0\}.$$

一个超平面可以将$\mathbf{R}^n$划分为两个半空间。闭的半空间定义为
$$\{x|a^Tx\leqslant b\}.$$
半空间是非平凡的线性不等式的解空间，这里$a\neq 0$。
半空间是凸的但不是仿射的。

半空间还可以写成
$$\{x|a^T( x-x_0)\leqslant 0\},$$
其中$x_0$是超平面上一点，这个表达式的几何解释就是：半空间由$x_0$加上任意与法向量$a$成钝角的向量组成。
集合$\{x|a^Tx<b\}$是半空间$\{x|a^Tx\leqslant b\}$的内部，称为开半空间。

Euclid球和椭球