斜率优化

本文详细介绍了斜率优化动态规划的方法及其应用。首先通过实例解释了如何证明决策单调性,进而推导出斜率表达式,最后给出了三个具体的实现案例。

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啊啊,斜率优化啊。

推荐一篇很好的博客 http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/6009685.html(感觉说“转载”有点怪好像说推荐的博客是转载的。。总之就表达一下对那位作者作品权的尊重以及对那位大佬的尊敬与感激。。。)

对象:形如dp[i]=max/min(dp[j]+a[i]*b[j]+c[i])等,a,b为单调函数,转移主要发生在一维,在转移式中有关于i和j的函数相乘的情况时,无法进单调队列优化。那么此时我们可以考虑进行斜率优化。

注意,并不是所有的上类dp都可以进行斜率优化,这也是为什么在做斜率优化前需要证明 决策单调性 问题。

步骤:1.证明这个dp具有决策单调性,个人理解就是,对于两种决策方案j,k,k>j,若在转移i时k方案优于j方案,那么对于i+1而言,k也一定优于j。

证明方法:

这里用上面的dp作例

首先根据i时k方案优于j,可以列出第一个不等式:

dp[j]+a[i]*b[j]+c[i]>=dp[k]+a[i]*b[k]+c[i](若是max就取<=,这里用min举例)                ——【1】

设a[i+1]=a[i]+v,显然当a递增时v>0,当a递减时v<0;

那么就有

dp[j]+(a[i]+v)*b[j]+c[i]>=dp[k]+(a[i]+v)*b[k]+c[i]

将【1】代入,可得

v*b[j]>=v*b[k]                                                                                                             ——【2】

在k>j的条件下,判断它和b所具有的单调性相不相同即可。

2.接下来就是求斜率表达式了

对上式,我们不妨假设a是递减的,b是递增的(于【2】而言明显合法)

那么我们可以维护一个单调队列来存决策位置(指针),每次取直接取dp[i]=dp[q首]+a[i]*b[q首]+c[i],也就是说最好决策会在哪已经知道了,是不是很妙啊。

附一张图来看一下具体维护细节吧

而上述操作的实质则是在维护一个凸壳

嗯,这里就讲的差不多了。。。

但还是要强调,上面的式子终归是个模型。一个转移方程能否使用斜率优化的本质判断点在于它的二次项部分两个函数的增减性,系数正负以及是max还是min,不过那是数学问题了,一般情况下只要用上述证明方法自己就问题自己证明一下就好了。

后面附上小题三道

bzoj1010

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int N=50050;
long long le[N],f[N];
long long dp[N],sum[N];
int q[N];
int n,l;
double slope(int j,int k)
{
	return (f[k]*f[k]+2*f[k]*(l+1)+dp[k]-f[j]*f[j]-2*f[j]*(l+1)-dp[j])/(2*(f[k]-f[j]));
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&le[i]),sum[i]=sum[i-1]+le[i],f[i]=sum[i]+i;
	int h=0,t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(h>t&&slope(q[t],q[t+1])<=f[i])	t++;
		dp[i]=dp[q[t]]+(f[i]-f[q[t]]-l-1)*(f[i]-f[q[t]]-l-1);
		while(h>t&&slope(q[h-1],q[h])>slope(q[h],i))	h--;
		q[++h]=i;
	}
	printf("%lld\n",dp[n]);
}

bzoj1096

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int N=1000500;
int n;
int q[N];
long long x[N],p[N],c[N];
long long sum[N],f[N],dp[N];
double slope(int j,int k)
{
	return (double)(dp[k]+f[k]-dp[j]-f[j])/(double)(sum[k]-sum[j]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+p[i],f[i]=f[i-1]+p[i]*x[i];
	int h=0,t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(h>t&&slope(q[t],q[t+1])<=x[i]) t++;
		dp[i]=dp[q[t]]+(sum[i]-sum[q[t]])*x[i]+(f[q[t]]-f[i])+c[i];
		while(h>t&&slope(q[h-1],q[h])>=slope(q[h],i))	h--;
		q[++h]=i;
	}
	printf("%lld\n",dp[n]);
}


bzoj1911

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
const int N=1000500;
int a,b,c,n;
long long x[N],f[N];
long long dp[N];
int q[N];
double slope(int j,int k)
{
	return (double)(dp[k]+a*f[k]*f[k]-b*f[k]-dp[j]-a*f[j]*f[j]+b*f[j])/(double)(2*a*(f[k]-f[j]));
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&x[i]),f[i]=f[i-1]+x[i];
	int t=0,h=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(h>t&&slope(q[t],q[t+1])<=f[i])	t++;
		dp[i]=dp[q[t]]+a*(f[i]-f[q[t]])*(f[i]-f[q[t]])+b*(f[i]-f[q[t]])+c;
		while(h>t&&slope(q[h-1],q[h])>=slope(q[h],i))	h--;
		q[++h]=i;
	}
	printf("%lld\n",dp[n]);
}






<think>好的,用户想了解斜率优化动态规划的概念及实现方法。首先,我需要回忆一下动态规划的基础知识,特别是优化方法。动态规划通常有递推和记忆化搜索两种实现方式,而斜率优化属于一种高级的优化技巧,用于降低时间复杂度。 用户提到的参考引用中提到,递推的效率比记忆化搜索高,并且很多优化技巧如滚动数组、单调队列、斜率优化都建立在递推上。所以,斜率优化应该属于递推方法的一种扩展。 接下来,我需要明确斜率优化的核心思想。根据已有的知识,斜率优化通常用于处理状态转移方程中的决策变量,通过分析转移方程的数学形式,将其转化为斜率问题,从而利用单调队列或凸包等数据结构来优化决策过程。 例如,当状态转移方程形如$dp[i] = \min\{dp[j] + f(i,j)\}$,其中$f(i,j)$可以分解为与i和j相关的项,可能可以将其转换为斜率的形式。比如,若$f(i,j)=a[i]*b[j]+c[i]+d[j]$,可能将式子整理为关于$b[j]$和$dp[j]+d[j]$的线性表达式,进而比较不同j值的斜率,选择最优的决策点。 需要解释为什么这种方法有效,可能涉及到维护一个下凸包或上凸包,确保每次决策时选取的j是最优的,从而将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)或O(n log n)。 然后,结合用户提供的引用内容,特别是引用[2]提到的QP优化DP结合,可能斜率优化在路径规划中的应用,但用户的问题更关注动态规划中的斜率优化,所以需要专注于算法实现的步骤。 需要给出具体的例子,比如任务安排问题,或者最大子序列问题,来展示斜率优化的应用步骤。例如,经典的任务安排问题,其中状态转移方程可以斜率优化,通过维护一个单调队列来快速找到最优的前驱状态。 在实现步骤方面,应该分步骤解释:问题分析、状态转移方程整理为斜率形式、数据结构的选择(如单调队列)、维护凸包的过程、以及最终的时间复杂度分析。 同时,要注意数学表达式的正确格式,使用$$...$$和$...$,并确保LaTeX语法正确。例如,将状态转移方程写成$$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \}$$,然后展开分析。 另外,用户提供的引用中有提到变积分PID和QP优化,虽然这些可能与斜率优化无直接关联,但需要确保不混淆概念,专注于动态规划中的斜率优化部分。 最后,生成相关问题时要围绕斜率优化的应用场景、与其他优化方法的比较、具体实现中的挑战等,帮助用户深入理解。</think>### 斜率优化动态规划详解 #### 概念解析 斜率优化动态规划(Slope Optimization DP)是一种通过**分析状态转移方程的斜率特性**来优化决策过程的方法,可将部分动态规划问题的时间复杂度从$O(n^2)$降至$O(n)$或$O(n \log n)$[^1]。其核心是将状态转移方程转换为**线性关系式**,通过维护**决策点集的凸包**快速筛选最优决策。 #### 算法原理 1. **状态转移方程重构** 设状态转移方程为: $$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + f(i,j) \}$$ 若$f(i,j)$可分解为$A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j)$形式,则方程可改写为: $$dp[i] = C(i) + \min_{j<i}\{ A(i) \cdot B(j) + (dp[j] + D(j)) \}$$ 此时决策变量$j$的优劣可转化为**点$(B(j), dp[j]+D(j))$的斜率比较**。 2. **凸包维护** 通过维护决策点集的**下凸包**(当$A(i)$单调递增)或**上凸包**(当$A(i)$单调递减),使用单调队列/栈快速剔除无效决策点。 #### 实现步骤(以经典任务安排问题为例) **问题描述** 处理$n$个任务,每个任务耗时$t_i$,费用系数$c_i$。目标最小化总费用: $$总费用 = \sum_{i=1}^n (\text{完成时间} \times c_i)$$ **状态转移方程** $$dp[i] = \min_{j<i}\left\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \right\}$$ 其中$T_i = \sum_{k=1}^i t_k$, $C_i = \sum_{k=1}^i c_k$,$S$为启动延迟。 **斜率优化过程** 1. **方程变形** 将方程展开为: $$dp[i] = S \cdot C_i + T_i \cdot C_i + \min_{j<i}\{ dp[j] - S \cdot C_j - T_i \cdot C_j \}$$ 令: $$ \begin{cases} k = T_i \\ x_j = C_j \\ y_j = dp[j] - S \cdot C_j \\ \end{cases} $$ 则状态转移简化为: $$dp[i] = (S + T_i)C_i + \min_{j<i}\{ y_j - k x_j \}$$ 2. **决策点筛选** 最优决策点需满足: $$\frac{y_j - y_k}{x_j - x_k} \leq k_i \quad (\text{下凸包条件})$$ 使用单调队列维护凸包,队首即为当前最优决策。 **Python实现示例** ```python def slope_optimization_dp(n, S, t, c): T = [0]*(n+1) # 前缀时间和 C = [0]*(n+1) # 前缀费用和 dp = [0]*(n+1) q = deque([0]) # 单调队列存储决策点索引 for i in range(1, n+1): T[i] = T[i-1] + t[i-1] C[i] = C[i-1] + c[i-1] # 剔除队首非最优决策 while len(q)>=2 and (dp[q[1]] - dp[q[0]]) <= (S + T[i])*(C[q[1]] - C[q[0]]): q.popleft() j = q[0] dp[i] = dp[j] + (S + T[i] - T[j])*(C[i] - C[j]) # 维护下凸包 while len(q)>=2 and (dp[i]-dp[q[-1]])*(C[q[-1]]-C[q[-2]]) <= (dp[q[-1]]-dp[q[-2]])*(C[i]-C[q[-1]]): q.pop() q.append(i) return dp[n] ``` #### 关键优化点 - **时间复杂度**:从$O(n^2)$优化至$O(n)$ - **数据结构**:单调队列实现$O(1)$时间复杂度的决策筛选 - **适用条件**:状态转移方程需满足**决策单调性**且参数满足**斜率单调性** #### 典型应用场景 1. 任务调度问题 2. 最优库存控制 3. 资源分配优化 4. 路径规划中的轨迹平滑(如自动驾驶中的QP优化前处理[^2])
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