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Jerry_wang119

于 2018-10-17 00:05:42 发布

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分类专栏：数论文章标签：数论

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本文深入探讨了一道复杂的数论题目，通过创新的思路和严谨的数学推导，揭示了题目中蕴含的数学规律，包括互质性质、完全立方数的特性等，并提供了一种高效的解题算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

约定：

$a\perp b$ ：a 和 b 互质

$a \parallel b$ ：a 和 b 不互质

$P$ ：质数

题解：

思路新颖，然鹅我推完第一步就无从下手了

式子是这样的

$n^3+n^2*p=m^3$

先不管求出p的个数，我们先把这个式子化简一下

$n^2*(n+p)=m^3$

现在难点就是这个完全没有任何推法啊

挖掘性质：

1、 $n\perp p$ （~~不想看证明可以跳过~~）

~~（博主自己想的思路）~~

假设 $n \parallel p$ ，一定有 $n=k*p$ ，所以原式可化为

$(k^3+k^2)*p^3=m^3$

又因为 $m,p\in N^{*}$ ，所以设 $m=g*p$ ，可以得到

$k^3+k^2=g^3$

所以我们要证明上述式子不成立

证明 1.1

再次化简式子得到 $(k+1)*k^2=g^3$ ，这有什么呢，再化简一下可以得到 $k+1=g*(\frac{g}{k})^2$

这样的话可以得到 $k<p$ ，那么 $k<p$ 会出现什么样的妙处呢？

显然这时候 $(\frac{g}{k})^2$ 一定是大于等于 4 的正整数，那么设它为 $\alpha$ ，那么 $k+1=\alpha* g$

那么 $\frac{k}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}= g$ 与 $g$ 是正整数矛盾！

所以 $n\perp p$ 一定成立

证毕

2、 $n\perp n + p$

由于 $n\perp p$ ，更相减损法可以证明这是对的，即 $gcd (n,n+p)=gcd (n,p)=1$

3、 $n, n + p$ 都是完全立方数

证明 3.1

假设 $n=\prod ^{k}_{j=1}P_{j}^{x_{j}}$ ，那么 $n+p=\prod ^{k^{'}}_{j=k+1}P_{j}^{x_{j}}$ ，总之，他们互质

那么 $m^3$ 既然是一个完全立方数，那么可以将其质因子分解，发现一个道理：

$m^3=\prod ^{k}_{j=1}P_{j}^{x_{j}}(\prod ^{k^{'}}_{j=k+1}P_{j}^{x_{j}})^2$

也就是说，不论如何，所有的 $x_{j}$ 一定要是 3 的倍数，所以，而 $n,(n+p)^2$ 各项里面只有 1，2 的因子

所以 $n, n + p$ 都是完全立方数一定成立

破题：

这个过程也是很精妙

由性质 3，可以设

$n=a^3,n+p=b^3$

两者做差可得到

$p=a^3-b^3=(a-b)*(a^2+a*b+b^2)$

（实在是太难写了我就直接 $\because +\therefore$ 了哈）

$\because p$ 为质数

$\therefore a-b=1$ 成立

$\therefore a=b+1$

$\therefore p=a^2+a*b+b^2$

代入 $a=b+1$

$\therefore p=3*b^2+3*b+1$

那么 $p$ 就是形如 $3*b^2+3*b+1$ 的所有数

这样的 $b$ 不会超过 600，可以直接暴力枚举 $b$

存入一个数组，每次二分查找小于等于输入的数的位置（ $upperbound - 1$ ），这个题就完了！

后记：

吐槽一下为什么要做这道题呢，因为教练在 Vjudge 上挂了这道题，然后不做就吃枣药丸，所以就做了这道没有意义的题，虽然锻炼了数论的思维，但是 Noip 时期应该巩固基础，所以说，希望这是我最后一篇这样的题解和总结……

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