数据结构树

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⏰️创作时间：2024年12月16日13点20分

树

空树：节点数为0的树

非空树的特性：

1. 有且仅有一个根节点
2. 没有后继的结点称之为叶子节点（终端节点）
3. 有后继的节点称为分支节点（非终端节点）

除了根节点外，任何一个节点都有且仅有一个前驱

子树：互不相交的有限集合

树是一种递归定义的数据结构

• 节点的层次（深度）——从下往上数
• 节点的高度——从下往上数
• 树的高度（深度）——总共多少层
• 节点的度——有几个孩子（分支）
• 树的度——各节点的度的最大值

有序树：逻辑上看，树中的节点的各子树从左至右是有次序的，不能互换

无序树：逻辑上看，树中的节点的各子树从左至右是无次序的，可以互换

森林：森林是m棵互不相交的树的集合

总结

基本概念：节点、边、根节点、叶子节点、分支节点、子树

节点之间的关系：

• 节点之间的路径——只能从上往下

节点、树的属性

• 节点的度——节点的分支数
• 树的度——树中各节点的度的最大值

有序树VS无序树

• 逻辑上看，各子树是否有序，位置是否可互换
• 森林：由 m>=0 个互不相交的数组成森林

树的性质

树的度——各节点的度的最大值

• 任意节点的度<=m（最多m个孩子）
• 至少有一个节点度 = m（有m个孩子）
• 一定是非空树，至少有 m+1 个节点

m叉树——每个节点最多只能有m个孩子的树

• 任意节点的度<=m（最多m个孩子）
• 允许所有节点的度都 < m
• 可以是空树

二叉树

• 满二叉树
• 完全二叉树
• 二叉排序树
• 平衡二叉树

二叉树是递归定义的数据结构

1. 每个节点至多只能有两颗子树
2. 左右子树不能颠倒（二叉树是有序树）

满二叉树

特点：

1. 只有最后一层有叶子节点
2. 不存在度为1的节点
3. 按层序从1开始编号，节点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，节点 i 的父节点为 i / 2

完全二叉树

特点：

1. 只有最后两层可能有叶子节点
2. 最多只有一个度为 1 的节点
3. 按层序从1开始编号，节点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，节点 i 的父节点为 i / 2

二叉排序树

一颗二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树

​ 二叉排序树可用于元素的排序、搜索

• 左子树上所有的关键字均小于根节点的关键字
• 右子树上所有的关键字均大于根节点的关键字
• 左子树和右子树又各是一颗二叉排序树

平衡二叉树——树上任一节点的左子树和右子树深度之差不超过1

性质

树的节点数=总度数+1

存储结构——顺序存储

二叉树的顺序存储中，一定要把二叉树的节点编号与完全二叉树对应起来

n个节点的二叉链表共有n+1个空链域

二叉树的顺序存储中，一定要把二叉树的节点编号与完全二叉树对应起来

Author：DC