平衡二叉树(AVL 树)
1.1二叉排序树可能的问题
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST)。
上边 BST 存在的问题分析:
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
1.2 基本介绍
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为 AVL 树， 可以保证查询效率较高。
- 具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
- 举例说明, 看看下面哪些 AVL 树, 为什么?
那么如何将非平衡二叉树转换成平衡二叉树呢？我们下面讲解。
1.3 单旋转 – 左旋转
给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}
思路分析如下：
代码实现如下：
其中leftHeight() 返回以当前结点为根结点的左子树的高度；rightHeight()返回以当前结点为根结点的右子树的高度。
// 左旋转的方法
private void leftRotate() {
// 创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树设置成新的结点
left = newNode;
}
1.4 单旋转 – 右旋转
给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}
思路分析：
代码实现如下：
//右旋转
private void rightRotate(){
//创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
newNode.right = right;
//把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//把当前节点的值换为左子节点的值
value = left.value;
//把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
left = left.left;
//把当前节点的右子树设置为新节点
right = newNode;
}
1.5 双旋转
前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树.。
问题分析：
解决思路分析
- 当符合右旋转的条件时
- 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树的高度，即图中以7为根结点的右子树的高度大于以7为根结点的左子树的高度。
- 先对当前这个结点的左节点进行左旋转，即对已7为根结点的子树左旋转。
- 在对当前结点进行右旋转的操作即可
分析图解如下：
当前结点右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度，需要先将右子树进行右旋转，然后进行左旋转。
完整代码实现如下：
package com.mylove.avl;
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
// int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
int[] arr = {10,12, 8, 9, 7, 6};
//创建一个AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for(int i = 0 ; i < arr.length ; i++){
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在没有平衡处理前~~");
System.out.println("树的高度 = " + avlTree.getRoot().height());
System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());
System.out.println("当前结点的根结点为：" + avlTree.getRoot());
System.out.println("根结点的左子结点的左子结点为：" + avlTree.getRoot().left.left);
}
}
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
// 添加结点的方法
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
} else {
root.add(node);
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
// 查找要删除的结点
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
// 查找父结点
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
/**
*
* @param node
* 传入的结点(当做二叉排序树的根节点)
* @return 返回的以node为根结点的二叉排序的最小结点
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 循环查找左子节点就会找到最小值
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
// 这时target指向最小结点
// 删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
// 删除结点
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
// 1.先找到要删除的结点 targetNode
Node targetNode = search(value);
// 如果没有找到要删除的结点
if (targetNode == null) {
return;
}
// 如果这颗二叉排序树只有一个结点
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
// 查找targetNode的父结点
Node parent = searchParent(value);
// 如果要删除的结点是叶子结点
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
// 判断targetNode是父结点的左子结点还是右子结点
if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 左子结点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) { // 右子结点
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的结点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else { // 删除只有一颗子树的结点
// 如果要删除的结点只有左子结点
if (targetNode.left != null) {
if (parent != null) {
// 如果targetNode是parent的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else { // targetNode 是parent的右子结点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else { // 如果要删除的结点只有右子结点
if (parent != null) {
// 如果targetNode是parent的左子结点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else { // 如果targetNode是parent的右子结点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
}
// 创建Node结点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
super();
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回以该结点为根结点的树的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
// 左旋转的方法
private void leftRotate() {
// 创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left = left;
//把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value = right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树
right = right.right;
//把当前结点的左子树设置成新的结点
left = newNode;
}
//右旋转
private void rightRotate(){
//创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
newNode.right = right;
//把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//把当前节点的值换为左子节点的值
value = left.value;
//把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
left = left.left;
//把当前节点的右子树设置为新节点
right = newNode;
}
/**
*
* @param value
* 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if (value == this.value) {
return this;
} else if (value < this.value) {// 查找的值小于当前结点的值
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else { // 查找的值不小于当前结点的值，向右子树递归查找
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
// 添加结点的方法
// 递归的方式添加结点需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判断传入的结点的值和当前子树根结点的值关系
if (node.value < this.value) {
// 如果当前节点
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 递归向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else { // 添加的结点的值大于当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 递归向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点后，如果： (右子树的高度 - 左子树的高度) > 1 ，左旋转
if(rightHeight() - leftHeight() > 1 ){
//如果它右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()){
//先对右子结点进行右旋转
right.rightRotate();
//然后对当前结点进行左旋转
leftRotate();
}else{
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
//直接return即可
return;
}
//当添加完一个结点后，如果：(左子树的高度 - 右子树的高度) > 1 右旋转
if(leftHeight() - rightHeight() > 1 ){
//如果它的左子树的右子树高度大于的它的左子树的左子树的高度
if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()){
//先对当前结点的左子结点 -> 左旋转
left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
rightRotate();
}else{
//直接进行右旋转即可
rightRotate();
}
}
}
/**
*
* @param value
* 要删除的结点的值
* @return 返回要删除的结点的父结点，如果没有返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
// 要查找的值小于当前结点的值并且当前结点左子结点不为空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value);
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
// 要查找的值大于等于当前结点的值并且当前结点右子结点不为空
return this.right.searchParent(value);
} else {
// 没有父结点
return null;
}
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
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