Codeforces 712D Memory And Scores 前缀和+DP

最新推荐文章于 2021-01-31 15:42:44 发布

Masamiiiii

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分类专栏： CODEFORCES_ Dynamic Programming

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Dynamic Programming

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本文探讨了一种两人博弈问题的动态规划解决方案。该问题设定两名玩家初始得分分别为a和b，在若干轮游戏中从指定范围内随机选取数值加至各自得分，最终求得一方得分超过另一方的所有可能方式的数量。文章提出了两种解决思路，并详细介绍了第一种方法的具体实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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Problem D

题意:两人初始分数为(a,b) 总共t轮每轮两人随机从[-k,k]中选一个数加到自己的得分上.a,b,t<=100,k<=1000.问t轮后第一个人分数大于第2个人的方法数%mod,任意一轮中抽的不一样视为不同方案.

法1:设dp[i][dif] i轮后两人相差dif(设个offset转移负数)
dp[i][dif]+=dp[i-1][dif+(x-y)] -2k<=x-y<=2k -> dp[i][dif]+=(2k+1-z)*dp[i-1][dif+z) -2k<=z<=2k 可以向下面的方法一样化简

法2:设dp[i][sum] 抽i次总和为sum的方法数
dp[i][sum]+=dp[i-1][sum] x=[-k,k] 时间复杂度为O(t*kt*k) TLE
化解dp[i][sum]=dp[i][sum-1]-dp[i-1][sum+k]+dp[i-1][sum-1-k] (dp[i][sum-1]拆出来多一项少一项)

时间复杂度降为O(t*tk),枚举第二个抽人的sum 则第一个人至少要抽sum+b-a+1,利用前缀求出至少抽sum的方法数即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int N=3e5+20;
ll a,b,k,t;
ll dp[110][N*2],pre[N*2];
ll calc(ll i,ll j)
{
	if(j<0)
		return 0;
	return dp[i][j];
}
int main()
{
	while(cin>>a>>b>>k>>t)
	{
		
		int offset=N;// offset-> zero
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0][offset+0]=1;	
		for(int i=1;i<=t;i++)
		{
			for(int j=-offset;j<=offset;j++)
			{
				//j-k~j+k
				//j-k-1~j-k-1
				dp[i][j+offset]=(calc(i,j-1+offset)+calc(i-1,j+k+offset)-calc(i-1,j-k-1+offset))%mod;
				dp[i][j+offset]=(dp[i][j+offset]%mod+mod)%mod;
			}
		}
		ll ans=0;
		//pre[i]  
		for(int i=offset;i>=-offset;i--)
			pre[i+offset]=(pre[i+1+offset]+dp[t][i+offset])%mod;
		for(int i=-offset;i<=offset;i++)
		{
			int o=i+b-a+1;
			ans=(ans+(dp[t][i+offset]*pre[max(0,o+offset)])%mod)%mod;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}