偏序集是数学中的一个概念,用于描述集合中的元素之间的一种特殊的排序方式。让我们通过定义和例子来详细解释偏序集。
偏序关系的定义
设 ( R ) 为非空集合 ( A ) 上的关系,如果 ( R ) 满足以下三个条件:
- 自反性:对于所有 ( x \in A ),有 ( x R x )。这意味着每个元素与自己有关系。
- 反对称性:如果 ( x R y ) 且 ( y R x ),则 ( x = y )。这意味着如果两个不同的元素相互有关系,那么它们必须相等。
- 传递性:如果 ( x R y ) 且 ( y R z ),则 ( x R z )。这意味着如果 ( x ) 与 ( y ) 有关系,( y ) 与 ( z ) 有关系,那么 ( x ) 与 ( z ) 也有关系。
如果一个关系满足这三个条件,我们就称它为集合 ( A ) 上的偏序关系,简称偏序,记作 ( \leq )。
偏序集
集合 ( A ) 和它上面的偏序关系 ( \leq ) 一起称为偏序集,记作 ( \langle A, \leq \rangle )。
偏序集中的元素关系
对于任意 ( x, y \in A ),它们之间只能有以下四种关系之一:
- ( x = y ):( x ) 和 ( y ) 是同一个元素。
- ( x < y ):( x \leq y ) 且 ( x \neq y ),即 ( x ) 小于 ( y )。
- ( y < x ):( y \leq x ) 且 ( y \neq x ),即 ( y ) 小于 ( x )。
- ( x ) 与 ( y ) 不可比:( x ) 和 ( y ) 之间没有直接的偏序关系。
哈斯图
有穷集上的偏序可以用哈斯图(Hasse diagram)来表示。在哈斯图中:
- 元素是分层排列的。
- 最底层是所有的极小元(没有元素比它们更小的元素)。
- 相邻两层之间,较高一层的元素至少盖住较低一层的一个元素(即存在一个元素 ( z ) 使得 ( x \leq z ) 且 ( z < y ))。
- 每条路径的最高层元素都是极大元(没有元素比它们更大的元素)。
极小元、极大元、最小元、最大元
- 极小元:没有其他元素比它更小的元素。
- 极大元:没有其他元素比它更大的元素。
- 最小元:如果偏序集只有唯一的极小元,那么这个极小元就是最小元。
- 最大元:如果偏序集只有唯一的极大元,那么这个极大元就是最大元。
上界、最小上界、下界、最大下界
- 上界:对于子集 ( B ),如果存在元素 ( x \in A ) 使得对于所有 ( b \in B ),都有 ( b \leq x ),则 ( x ) 是 ( B ) 的上界。
- 最小上界:所有上界中的最小元素。
- 下界:对于子集 ( B ),如果存在元素 ( x \in A ) 使得对于所有 ( b \in B ),都有 ( x \leq b ),则 ( x ) 是 ( B ) 的下界。
- 最大下界:所有下界中的最大元素。
例子
考虑自然数集合 ( \mathbb{N} ) 与其上的整除关系 ( \mid ):
- 自反性:每个自然数都能被自己整除。
- 反对称性:如果 ( a \mid b ) 且 ( b \mid a ),则 ( a = b )。
- 传递性:如果 ( a \mid b ) 且 ( b \mid c ),则 ( a \mid c )。
在这个偏序集中,1是最小元,因为它能整除所有自然数。每个自然数本身都是一个极大元,因为没有其他自然数能整除它。对于任意两个自然数 ( a ) 和 ( b ),如果 ( a ) 能整除 ( b ),则 ( a \leq b );如果 ( b ) 能整除 ( a ),则 ( a \geq b );如果两者都不能整除对方,则它们不可比。
通过这个例子,你可以看到偏序集是如何定义和运作的。