偏序和有关至少

偏序集是数学中的一个概念，用于描述集合中的元素之间的一种特殊的排序方式。让我们通过定义和例子来详细解释偏序集。

偏序关系的定义

设 ( R ) 为非空集合 ( A ) 上的关系，如果 ( R ) 满足以下三个条件：

1. 自反性：对于所有 ( x \in A )，有 ( x R x )。这意味着每个元素与自己有关系。
2. 反对称性：如果 ( x R y ) 且 ( y R x )，则 ( x = y )。这意味着如果两个不同的元素相互有关系，那么它们必须相等。
3. 传递性：如果 ( x R y ) 且 ( y R z )，则 ( x R z )。这意味着如果 ( x ) 与 ( y ) 有关系，( y ) 与 ( z ) 有关系，那么 ( x ) 与 ( z ) 也有关系。

如果一个关系满足这三个条件，我们就称它为集合 ( A ) 上的偏序关系，简称偏序，记作 ( \leq )。

偏序集

集合 ( A ) 和它上面的偏序关系 ( \leq ) 一起称为偏序集，记作 ( \langle A, \leq \rangle )。

偏序集中的元素关系

对于任意 ( x, y \in A )，它们之间只能有以下四种关系之一：

1. ( x = y )：( x ) 和 ( y ) 是同一个元素。
2. ( x < y )：( x \leq y ) 且 ( x \neq y )，即 ( x ) 小于 ( y )。
3. ( y < x )：( y \leq x ) 且 ( y \neq x )，即 ( y ) 小于 ( x )。
4. ( x ) 与 ( y ) 不可比：( x ) 和 ( y ) 之间没有直接的偏序关系。

哈斯图

有穷集上的偏序可以用哈斯图（Hasse diagram）来表示。在哈斯图中：

• 元素是分层排列的。
• 最底层是所有的极小元（没有元素比它们更小的元素）。
• 相邻两层之间，较高一层的元素至少盖住较低一层的一个元素（即存在一个元素 ( z ) 使得 ( x \leq z ) 且 ( z < y )）。
• 每条路径的最高层元素都是极大元（没有元素比它们更大的元素）。

极小元、极大元、最小元、最大元

• 极小元：没有其他元素比它更小的元素。
• 极大元：没有其他元素比它更大的元素。
• 最小元：如果偏序集只有唯一的极小元，那么这个极小元就是最小元。
• 最大元：如果偏序集只有唯一的极大元，那么这个极大元就是最大元。

上界、最小上界、下界、最大下界

• 上界：对于子集 ( B )，如果存在元素 ( x \in A ) 使得对于所有 ( b \in B )，都有 ( b \leq x )，则 ( x ) 是 ( B ) 的上界。
• 最小上界：所有上界中的最小元素。
• 下界：对于子集 ( B )，如果存在元素 ( x \in A ) 使得对于所有 ( b \in B )，都有 ( x \leq b )，则 ( x ) 是 ( B ) 的下界。
• 最大下界：所有下界中的最大元素。

例子

考虑自然数集合 ( \mathbb{N} ) 与其上的整除关系 ( \mid )：

• 自反性：每个自然数都能被自己整除。
• 反对称性：如果 ( a \mid b ) 且 ( b \mid a )，则 ( a = b )。
• 传递性：如果 ( a \mid b ) 且 ( b \mid c )，则 ( a \mid c )。

在这个偏序集中，1是最小元，因为它能整除所有自然数。每个自然数本身都是一个极大元，因为没有其他自然数能整除它。对于任意两个自然数 ( a ) 和 ( b )，如果 ( a ) 能整除 ( b )，则 ( a \leq b )；如果 ( b ) 能整除 ( a )，则 ( a \geq b )；如果两者都不能整除对方，则它们不可比。

通过这个例子，你可以看到偏序集是如何定义和运作的。