【LeetCode 30天挑战活动】Day 18.Minimum Path Sum

题目描述

给定一个二维数组，数组中的元素都是非负整数，找到从左上角到右下角的一条路径使得路径之和最小，返回这个最小路径和。
注意：每次只能向下或者向右移动
示例：
Input:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
Output: 7
Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

解题思路

法一： 回溯 + 剪枝
挺暴力的一个思路，就是向右和下疯狂试探，可以剪枝的几种情况
（1）超出了数组范围
（2）路径总和已经比当前的最小值要大了
出现这两种情况就回到上一层换个方向试探
但是这个方法由于过于暴力，只能过60个用例，最后一个用例input比较长就TLE了，不管怎么样，思路是可以的，贴个代码

class Solution {
    int res = Integer.MAX_VALUE;
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        // traceback + cut
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0)
            return 0;
        
        traceback(grid, 0, 0, 0);
        
        return res;
    }
    
    public void traceback(int[][] grid, int row, int column, int curr) {
        if (row < 0 || row >= grid.length)
            return;
        if (column < 0 || column >= grid[0].length)
            return;
        
        curr += grid[row][column];
        
        if (curr > res)
            return;
        
        if (row == grid.length - 1 && column == grid[0].length - 1) {
            res = Math.min(res, curr);
        }
        
        // to right
        traceback(grid, row, column + 1, curr);
        // to down
        traceback(grid, row + 1, column, curr);
    }
}

法二： discussion里的dalao们说这题是典型的dp（而我完全没往这个方向想，我爆哭
要让到达右下角的路径和最小，那么每一步都选择相对较小的那个方向走，每一步都最小那么最后的结果一定是最小的（感觉这比较像贪心啊）。事实上，dp在这里是一种可行的方法是因为题目中限制了移动方向只能是向下或者向右。
状态dp[i][j]指的是到达数组中(i, j)需要的路径和，最重要的状态转移方程如下：
dp(i,j)=grid(i,j)+min(dp(i-1,j),dp(i,j-1))
要注意考虑边界问题：
（1）如果i == 0，说明这个元素的上面是边界，没有元素，那么也不存在从左边和上面两个元素中挑最小的可能性，只能直接加上左边的元素；
（2）如果j == 0，同理，只能加上上面的元素。

    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0)
            return 0;
        
        int row = grid.length;
        int column = grid[0].length;
        
        int[][] dp = new int[row][column];
        dp[0][0] = grid[0][0];  // init
        
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            for (int j = 0; j < column; ++j) {
                if (i == 0 && j == 0)
                    continue;
                else if (i == 0) {
                    // 只能加上左边的，没有上面的可能性
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                }
                else if (j == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                }
                else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        
        return dp[row - 1][column - 1];
    }

上面的代码还可以在空间复杂度上进行优化，不需要额外开辟一个dp数组，可以直接在原数组上修改，如下：

    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0)
            return 0;
        
        int row = grid.length;
        int column = grid[0].length;
        
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            for (int j = 0; j < column; ++j) {
                if (i == 0 && j == 0)
                    continue;
                else if (i == 0) {
                    grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j];
                }
                else if (j == 0) {
                    grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j];
                }
                else {
                    grid[i][j] = Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        
        return grid[row - 1][column - 1];
    }