算法基础课-学习笔记1

一. 前缀和

题目1：前缀和

(1) 题目

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(2) 答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];
int n, m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    while (m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l] + a[l] << endl;
    }
    return 0;
}

题目2：子矩阵的和

(1) 题目

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(2) 思路

(3) 答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;
int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> a[i][j];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    
    while (q --)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int res = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1]- s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

题目3：差分

(1) 题目

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(2) 答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];
int n, m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    // 输入a[]
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    // 找到a[]对应的差分数组b[]
    for (int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i] - a[i - 1];
    // 对于a[]下标为l~r区间上每个数 + c，
    // 就等价于，在差分数组b[l] += c, b[r + 1] -= c，
    // 最后b[]累加起来就是a[]
    while (m --)
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        b[l] += c;
        b[r + 1] -= c;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = a[i - 1] + b[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cout << a[i] << ' ';
    return 0;
}

题目4：差分矩阵

(1) 题目

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(2) 答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N], s[N][N];
int n, m, q;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    // a[]为原矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> a[i][j];
            
    // 1. 找到a[]对应的差分矩阵b[]
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    // 输出差分矩阵b[]
    // for (int i = 1; i <= n; i ++)
    // {
    //     for (int j = 1; j <= m; j ++) cout << b[i][j] << ' ';
    //     puts("");
    // }  
    // puts("");
    
    // 2. 对差分矩阵b[]进行加加减减操作
    while (q --)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    // 3. 对差分矩阵b[]求和得到s[]矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + b[i][j];

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) cout << s[i][j] << ' ';
        puts("");
    }
    return 0;
}

二. 双指针算法（难）

题目1：最长连续不重复子序列

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(1) 题目

(2) 答案

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N]; // s[]统计的是下标从j~i的元素出现的次数
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    int res = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++)
    {
        s[a[i]] ++; // 元素a[i]出现的次数++
        // 如果从下标j~i的数组中还有重复元素a[i]
        // 那就移动j往前且将a[j]--
        // （因为j前进时，a[j]已经不在下标为j~i对应的元素段了）
        while (j <= i && s[a[i]] > 1)
        {
            s[a[j]] --;
            j ++;
        }
        res = max(res, i - j + 1);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

题目2：数组元素的目标和

(1) 题目

(2) 答案

题目3：判断子序列

(1) 题目

(2) 答案

三. 位运算

题目：二进制中1的个数

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(1) 题目

(2) 答案

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> _10to2(int x)
{
    vector<int> num;
    while (x)
    {
        num.push_back(x % 2);
        x /= 2;
    }
    return num;
}
int main()
{
    cin >> n;
    while (n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        vector<int> num = _10to2(x);
        int res = 0;
        for (auto item : num)
            if (item) res ++;
        cout << res << ' ';
    }
    return 0;
}

四. 离散化（难）

题目：区间和

(1) 题目

(2) 解析

一段有意义的话：
离散化就是把大而分散的一段段使用到的稀疏区间，整合映射到连续的一段较小的稠密区间里，然后就可以通过普通前缀和公式来计算连续一段的区间和，本质上就是化大为小，把稀疏离散化简为稠密连续的一段。

主要步骤：

1. 将要访问的下标x全部存到alls[]中，然后对alls[]中所有的元素进行排序、去重。
   那么！！！在这样一个有序(递增)数组中，对于离散的下标x可以采用二分法得到连续的下标i；
2. 先将要添加的元素(x, c)先存到add[]数组中，然后把这里面的元素插入到全新的数组a[]中；
   注意：对于下标x，值为c的元素：下标x要做个映射(二分法)到i
   假如说映射函数(二分法函数)为get_i，则 i = get_i(x); a[i] += c
3. 现有数组为 a[]，前缀和数组为s[]，求l~r的元素和即为s[r] - s[l - 1]；
   注意：l与r都是alls[]中的元素，要映射成a[]中的下标
   

(3) 答案

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 10;
typedef pair<int, int> PII;
vector<PII> add, query;
vector<int> alls;
int a[N], s[N];
int n, m;
int get_i(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l + 1;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    /* 个人理解：
    区间和--离散化
    离散化就是把大而分散的一段段使用到的稀疏区间，
    整合映射到连续的一段较小的稠密区间里，
    然后就可以通过普通前缀和公式来计算连续一段的区间和，
    本质上就是化大为小，把稀疏离散化简为稠密连续的一段。
    */
    // 0. 将区间端点x及其上需要添加的数字c存到add中，将x加入到alls中
    while (n --)
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        alls.push_back(x);
    }
    // 0. 将访问的数组区间l~r存到query中和alls中
    while (m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    // 1. 离散化过程
    // (1)将alls数组中用到的下标(区间端点)进行排序，并去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    // (2)将之前add数组中的元素(x, c)要添加到a[]中的(i,c)上
    // 此处，注意：c不为0时，x是不连贯的，i是连贯的，
    // 我们要将alls中分散的下标x映射到a[]的下标i上
    for (auto item : add)
    {
        auto x = item.first, y = item.second;
        auto i = get_i(x);
        a[i] += y;
    }
    // 2. 回到了连续区间求前缀和的问题上了
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    // 3. l~r上的元素之和就为s[r]-s[l-1]，但是要记得将原来的l、r做个映射
    for (auto item : query)
    {
        auto x = item.first, y = item.second;
        auto l = get_i(x), r = get_i(y);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

五. 区间合并（难）

题目：区间合并

(1) 题目

(2) 答案

答案1（更好理解，但是合并后的区间不好找了 ）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 10;
vector<PII> segs;
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }
    // 将区间们按照前端点进行排序，以便于下一步进行合并
    sort(segs.begin(), segs.end());
    
    int res = n;
    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        // if 前一个区间和后一个区间有交集
        // 将后一个区间更新前后端点，
        // 前端点为前一个区间前端点，后端点为max(此区间后端点，前一个区间后端点)
        // else 啥也不干
        if (segs[i - 1].second >= segs[i].first)
        {
            res --;
            segs[i].second = max(segs[i].second,segs[i - 1].second);
            segs[i].first = segs[i - 1].first;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

答案2（不好理解，但是合并后的区间都可以找到）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
vector<PII> segs;
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    while (n --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }
    sort(segs.begin(), segs.end());
    
    vector<PII> res;
    // st和ed分别维护当前区间的前后端点
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
    {
        auto l = seg.first, r = seg.second;
        // if枚举区间前(左)端点<=当前区间后端点，则二者有交集，合并
        if (l <= ed)
            ed = max(r, ed);
        // else二者无交集，那就更新当前区间
        else
        {
            st = l;
            ed = r;
            res.push_back({st, ed});
        }
    }
    cout << res.size() << endl;
    // 可以看到合并后具体的区间
    // for (auto r : res)
    //     cout << r.first << ' ' << r.second << endl;
    return 0;
}