XTU-OJ 1355-Euler‘s Totient Function

原创已于 2023-10-17 23:30:35 修改 · 2.1k 阅读

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#算法 #数据结构

于 2023-10-17 23:30:08 首次发布

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文章讲述了如何使用欧拉筛进阶方法计算给定范围内的欧拉函数值，并结合前缀和求解特定问题f(a,b)，涉及对欧拉函数性质的理解和编程实现。

题目描述

对于整数n，定义ϕ(n)为小于或等于n，并与n互质的整数的个数，比如6,比它小的和它互质的数有1,5,所以ϕ(6)=2。如果n=pk11⋅pk22⋅…⋅pkmm，其中pi为不相同的素数。那么ϕ(n)=n⋅(1−1p1)⋅…⋅(1−1pm)。

我们定义f(a,b)=∑bi=aϕ(i),请你写一个程序求f(a,b)。

输入

第一行是一个整数T(1≤T≤10000)，表示样例的个数。每个样例是一行，为两个整数a,b(1≤a≤b≤3000000)。

输出

每行输出一个样例的结果。

样例输入
3  
1 6  
1 100  
1 1000000
样例输出
12  
3044  
303963552392

解题思路： 欧拉筛进阶---->欧拉函数 + 前缀和 (老熟人了)

本题是一个很纯粹的模板题，就是计算欧拉函数公式（后面离散数学也会提到，话又说回来了，认真学习）。具体的概念解析有个博主写的很好，可以直接学习，点我跳转。

AC代码：

#include <stdio.h>

int T,a,b;
const int MAXN = 3e6+5;
bool vis[MAXN];               // 筛选MAXN个素数
int prime[MAXN];              // 把素数依次存放在该数组中
__int64 phi[MAXN] = {0,1};

void oula()
{
    for (int i = 2; i < MAXN; i ++)
    {
        if ( !vis[i])
        {
            prime[++prime[0]] = i;      // prime[0] --> 筛选出的素数个数
            phi[i] = i-1;               // 素数i的  ϕ(i) = i-1;
        }
        for (int j = 1; j <= prime[0] && i <= MAXN/prime[j]; j ++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;        // 素数prime[j]的i倍为 合数
            phi[i*prime[j]] = phi[i]*phi[prime[j]];
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= 3e6; i ++)
        phi[i] += phi[i-1];
}

int main()
{
    oula();
    scanf("%d",&T);
    while ( T --)
    {
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("%I64d\n",phi[b]-phi[a-1]);
    }
    return 0;
}