八皇后问题

八皇后问题是这样一个问题:将八个皇后摆在一张8*8的国际象棋棋盘上,使每个皇后都无法吃掉别的皇后,一共有多少种摆法,其中皇后是最强大的一枚棋子,可以吃掉与其在同一行、列和斜线的敌方棋子?

经典解法:回溯法

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }        
}

       算法是逐行安排皇后的,其参数row为现在正执行到第几行。n是皇后数,在八皇后问题里当然就是8啦。

  第2行好理解,如果程序当前能正常执行到第8行,那自然是找到了一种解法,于是八皇后问题解法数加1。

  如果当前还没排到第八行,则进入else语句。遍历所有列col,将当前col存储在数组c里,然后使用is_ok()检查row行col列能不能摆皇后,若能摆皇后,则递归调用queen去安排下一列摆皇后的问题。

  还不太清楚?再慢点来,刚开始的时候row=0,意思是要对第0行摆皇后了。

  If判断失败,进入else,进入for循环,col初始化为0

  显然,0行0列的位置一定可以摆皇后的,因为这是第一个皇后啊,后宫空荡她想怎么折腾就怎么折腾,于是is_ok(0)测试成功,递归调用queen(1)安排第1行的皇后问题。

  第1行时row=1,进来if依然测试失败,进入for循环,col初始化为0。1行0列显然是不能摆皇后的,因为0行0列已经有一个圣母皇太后在那搁着了,于是is_ok()测试失败,循环什么也不做空转一圈,col变为1。1行1列依然is_ok()测试失败,一直到1行2列,发现可以摆皇后,于是继续递归queen(2)去安排第二个皇后位置。

  如果在某种情况下问题无解呢?例如前面在4皇后问题中,0行0列摆皇后是无解的。假设前面递归到queen(2)时候,发现第2行没有地方可以摆皇后,那怎么办呢?要注意queen(2)的调用是在queen(1)的for循环框架内的,queen(2)若无解,则自然而然queen(1)的for循环col自加1,即将第1行的皇后从1行2列改为1行3列的位置,检查可否放皇后后继续安排下一行的皇后。如此递归,当queen(0)的col自加到7,说明第一列的皇后已经遍历了从0行1列到0行7列,此时for循环结束,程序退出。

  在主函数中调用queen(0),得到正确结果,8皇后问题一共有92种解法。

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

int n=8;
int total=0;
int *c=new int(n);

bool is_ok(int row){
    for(int j=0;j!=row;j++){
        if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
            return false;
    }
    return true;
}

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }       
}

int main(){
    queen(0);
    cout<<total;
    return 1;
}

 

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