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🔥系列专栏：数据结构与算法
数据结构和算法动态可视化 (Chinese) - VisuAlgo
效果如下（只是图的一小部分）：
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1.图基本介绍
1)前面大家学了线性表和树
2)线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3)树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4)当我们需要表示多对多的关系时，这 里我们就用到了图。图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点 也可以称为顶点。如图:
1.图的常用概念
1)顶点(vertex)
2)边(edge)
3)路径
4)无向图(下图
5)有向图
6)带权图
7)连通图：
如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图
8) 连通子图：
2.图的表示方式
图的表示方式有两种::
- 二维数组表示(邻接矩阵)
- 链表表示(邻接表)
1.邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言,矩阵是的row和col表示的是1...n个点。
2.邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
3.快速入门案例
1.邻接矩阵方式
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
private int[][] edges;//存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges;//表示边的数目
private boolean[] isVisited; //记录某个结点是否被访问
public static void main(String[] args) {
int n=5; //节点的个数
String Vertexs[]={"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for (String vertex:Vertexs){
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
graph.showGraph();
}
//构造器
public Graph(int n){
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>(n);
numOfEdges=0;
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
//返回节点的个数
public int getNumOfVertex(){
return vertexList.size();
}
//返回节点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int[] link:edges){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2){
return edges[v1][v2];
}
//返回边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
/**
* 添加边
* @param v1
* @param v2
* @param weight
*/
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
edges[v1][v2]=weight;
edges[v2][v1]=weight;
numOfEdges++;
}
}
2.邻接表方式：
import sun.misc.Queue;
public class Graph {
//顶点数目
private final int V;
//边的数目
private int E;
//邻接表
private Queue<Integer>[] adj;
public Graph(int V) {
this.V = V; //初始化顶点数量
this.E = 0; // 初始化边的数量
this.adj = new Queue[V]; // 初始化邻接表
// 初始化邻接表中的空队列
for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
adj[i] = new Queue<Integer>();
}
}
//获取顶点数目
public int V() {
return V;
}
//获取边的数目
public int E() {
return E;
}
//向图中添加一条边v-w
public void addEdge(int v, int w) {
//把w添加到v的链表中，这样顶点v就多了一个相邻点w
adj[v].enqueue(w);
//把v添加到w的链表中，这样顶点w就多了一个相邻点v
adj[w].enqueue(v);
// 边的数目自增1
E++;
}
// 获取和顶点v相邻的所有顶点
public Queue<Integer> adj(int v) {
return adj[v];
}
}2.图遍历
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种.
访问策略: (1 )深度优先遍历 (2)广度优先遍历
1.深度优先遍历
(1)深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
(2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
(3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
1.访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2.查找结点v的第一个邻接结点w。
3.若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4.若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5.若w已经访问查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3
A对应0 B对应1 C对应2 D对应3 E对应4
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class Graph {
//图的实现:利用邻接矩阵的形式实现
//注意:此处实现的是无向图
//定义图的内部属性
private List<String> vertexList;//用于存储顶点的集合
private int[][] edges;//用来保存图对应的邻接矩阵
private int edgeOfNums;//显示边的个数
//定义boolean数组:记录某个结点是否已经被访问,数组大小和结点个数大小相同
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//定义图的所有顶点
String[] vertexs = {"A","B","C","D","E"};
//创建图
Graph graph = new Graph(vertexs.length);
//添加顶点到图中
for (String vertex : vertexs) {
graph.addVertex(vertex);
}
//添加边到图中
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示图的邻接矩阵信息
graph.showGraph();
//进行图的深度优先遍历A==>B==>C==>D==>E
graph.DFS();
}
//定义图的构造器
public Graph(int n) {//n表示定义的图的顶点的个数
//初始化邻接矩阵和顶点集合
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
}
//===========深度优先遍历的方法===========
//1.根据当前结点的下标获取其第一个邻接结点的下标
//若存在,返回其下标;若不存在,则返回-1
public int getFirstNeighbor(int index) {
//遍历顶点集合
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] == 1) {
return i;
}
}
//若没有邻接的结点,则返回-1
return -1;
}
//2.根据当前结点的前一个邻接结点的下标获取下一个邻接结点的下标
//同上:若存在,返回其下标;若不存在,则返回-1
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
for (int i = v2 +1;i < vertexList.size();i++) {
if (edges[v1][i] == 1) {
return i;
}
}
//若没有下一个邻接的结点,则返回-1
return -1;
}
//3.深度优先算法DFS
private void DFS(boolean[] isVisited,int i) {
//i表示访问的当前结点的下标
//1.访问该结点,输出
System.out.print(getVertexByIndex(i) + "==>");
//2.将该结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//3.查找结点i的第一个邻接的结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
//4.判断w是否存在
while (w != -1) {
//表示w(第一个邻接的结点存在)
//5.判断w是否已经被访问
if (!isVisited[w]) {
//6.1如果没有被访问,则对w进行深度优先遍历递归
DFS(isVisited,w);
}
//6.2如果w已经被访问过了
//查找v的w的邻接结点的下一个邻接结点
//同时回到4:判断其是否存在
w = getNextNeighbor(i,w);
}
}
//上面的DFS没有考虑W不存在,返回到结点i的下一个结点继续进行DFS
//我们利用一个DFS方法的重载来完成DFS的回溯
public void DFS() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];//初始化isVisited的size
for (int i = 0; i < getVertexNum(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
DFS(isVisited,i);
}
}
}
//===========深度优先遍历的方法(为上)===========
//插入结点(顶点的方法)
public void addVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边:传入参数
/**
*
* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连接0/1
*/
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
//由于图为无向图,故将两个顶点的正序和反序都设置为weight
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
edgeOfNums++;//每增加一条边,将边的条数加1
}
//图的常用API
//1.获取两个顶点的权值weight
public int getWeight(int v1,int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//2.获取图的边的长度
public int getEdgeOfNums(){
return edgeOfNums;
}
//3.返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getVertexByIndex(int index) {
return vertexList.get(index);
}
//4.图的邻接矩阵的显示方法
public void showGraph() {
for (int[] edge : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(edge));
}
}
//5.获取顶点的个数
public int getVertexNum() {
return vertexList.size();
}
}
2.广度优先遍历
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.出队列，取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6
A对应0 B对应1 C对应2 D对应3 E对应4
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
public class Graph {
//图的实现:利用邻接矩阵的形式实现
//注意:此处实现的是无向图
//定义图的内部属性
private List<String> vertexList;//用于存储顶点的集合
private int[][] edges;//用来保存图对应的邻接矩阵
private int edgeOfNums;//显示边的个数
//定义boolean数组:记录某个结点是否已经被访问,数组大小和结点个数大小相同
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//定义图的所有顶点
String[] vertexs = {"A","B","C","D","E"};
//创建图
Graph graph = new Graph(vertexs.length);
//添加顶点到图中
for (String vertex : vertexs) {
graph.addVertex(vertex);
}
//添加边到图中
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0,1,1);
graph.insertEdge(0,2,1);
graph.insertEdge(1,2,1);
graph.insertEdge(1,3,1);
graph.insertEdge(1,4,1);
//显示图的邻接矩阵信息
graph.showGraph();
System.out.println("广度优先遍历为:");
graph.BFS();
}
//定义图的构造器
public Graph(int n) {//n表示定义的图的顶点的个数
//初始化邻接矩阵和顶点集合
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
}
//=============广度优先遍历(BFS)=============
//1.根据当前结点的下标获取其第一个邻接结点的下标
//若存在,返回其下标;若不存在,则返回-1
public int getFirstNeighbor(int index) {
//遍历顶点集合
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] == 1) {
return i;
}
}
//若没有邻接的结点,则返回-1
return -1;
}
//2.根据当前结点的前一个邻接结点的下标获取下一个邻接结点的下标
//同上:若存在,返回其下标;若不存在,则返回-1
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
for (int i = v2 +1;i < vertexList.size();i++) {
if (edges[v1][i] == 1) {
return i;
}
}
//若没有下一个邻接的结点,则返回-1
return -1;
}
private void BFS(boolean[] isVisited,int i) {
//定义局部变量
int u;//表示队列的头结点对应的下标
int w;//表示邻接结点的下标
//定义存储结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//1.访问当前结点,即输出当前结点的信息
System.out.print(getVertexByIndex(i) + "-->");
//2.标记其已被访问
isVisited[i] = true;
//3.将该结点加入队列:利用linkedlist的api:addLast(相当于入队列)
queue.addLast(i);
//进行while循环完成BFS
while (!queue.isEmpty()) { //只要队列不为空
//4.取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//5.获取u(头结点)的第一个邻接结点的下标
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {//说明w(邻接结点存在)
//6.继续判断是否访问过
if (!isVisited[w]) {
//6.1如果没有访问过,则访问该结点
System.out.print(getVertexByIndex(w) + "-->");
//6.2标记其已经被访问
isVisited[w] = true;
//6.3将其入队列
queue.addLast(w);
}
//如果已经访问过,则查找u的继w的下一个邻接结点,继续进行上述步骤
w = getNextNeighbor(u,w);
}
}
}
//上面的BFS只是对一个结点进行了对应层的遍历访问
//for循环完成每一个结点的访问
public void BFS() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getVertexNum(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
//若该结点未被访问
BFS(isVisited,i);
}
}
}
//=============广度优先遍历(BFS)(为上)=============
//插入结点(顶点的方法)
public void addVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边:传入参数
/**
*
* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连接0/1
*/
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
//由于图为无向图,故将两个顶点的正序和反序都设置为weight
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
edgeOfNums++;//每增加一条边,将边的条数加1
}
//图的常用API
//1.获取两个顶点的权值weight
public int getWeight(int v1,int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//2.获取图的边的长度
public int getEdgeOfNums(){
return edgeOfNums;
}
//3.返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getVertexByIndex(int index) {
return vertexList.get(index);
}
//4.图的邻接矩阵的显示方法
public void showGraph() {
for (int[] edge : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(edge));
}
}
//5.获取顶点的个数
public int getVertexNum() {
return vertexList.size();
}
}
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