二叉树及建堆的详细介绍-优快云博客

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介绍树的概念，二叉树相关结构计算以及堆。

一.树

树结构具有明显的层次特性，如同家族谱系一样。一般用“父子”来称呼体现节点之间的层次差异和继承关系。父节点处于较高层次，是子节点的“先辈”，子节点则依赖父节点存在，如同现实中子女与父母的关系，便于描述和理解树中节点的上下层级关系。

1.概念：

任何一棵树都是由根和子树构成的，子树没有了树就结束了。

二叉树及建堆的详细介绍_数据结构

基本概念总结：

①节点的度

节点拥有子树数目称为节点的度。如，A有3个子节点，那么它的度就是3。

②树的度：

树中节点的最大度数称为树的度。度为0的节点称为叶子节点，也叫终端节点。

④内部节点/非终端节点

度不为0的节点称为内部节点。反之度为0称叶节点或终端节点

⑤父节点、子节点和兄弟节点

一个节点的子树的根节点是该节点的子节点，而这个节点就是其子节点的父节点。具有相同父节点的节点互为兄弟节点。

⑥树的深度/高度

树中节点的最大层次称为树的深度或。根节点在第1层，若某节点在第i层，那么它的子节点在第i + 1层。

⑦森林

森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。可以把树的根节点删去就得到森林。

⑧ 有序树和无序树

如果树中节点的子树是有顺序的，即子树之间有先后次序之分，则称该树为有序树；否则称为无序树

注意：树的子树是不相交的，除了根节点，每个节点有且只有一个父节点，一棵N个节点的树就有N-1条边。

2.左孩子右兄弟表示法：

左孩子右兄弟表示法是一种用于表示树的数据结构的链式方法，树的每个节点除了存储自身的数据外，还包含两个指针，分别指向该节点的第一个孩子节点(左孩子)和下一个兄弟节点(右兄弟)。通过这种方式，就能够找全树的所有节点。

二叉树及建堆的详细介绍_建堆_02

二.二叉树

1.概念：

(1)二叉树最大度是2 (2)二叉树有左右子树之分，次序不能颠倒(有序树)

简单理解，二叉树是一棵计划生育的树，每个节点最多只能有两个子节点。

二叉树及建堆的详细介绍_建堆_03

2.两个特殊二叉树：

(1)满二叉树：每一层都是满的。

二叉树及建堆的详细介绍_二叉树_04

注：在树结构中，根节点所在的层为第0层。从根节点开始，向下延伸一层，根节点的子节点所在的层为第1层。以此类推，每向下延伸一层，层数就加1。(这样设计符合计算机习惯(如数组索引从0开始)，便于描述、计算树的性质，实现递归。)

(2)完全二叉树：除了最后一层，每一层都是满的。

二叉树及建堆的详细介绍_建堆_05

二叉树只有度0，度1，度2(1个子树，2个子树，无子树)，分别用N0,N1,N2表示。那么在完全二叉树中有一下结论：N1=0或1，N0 = N2+1；

由此，如果已知节点数，就可求N0,N1,N2。

3.parent和child关系：

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那么在顺序存储中如何连接父子关系？

顺序(数组)方式：适合对满二叉树/完全二叉树存储，若不是完全二叉树，数组中会间隔很多“空”出来位置，浪费空间。

三.堆

1.基本概念：

堆是一种特殊的数据结构，通常用于实现优先队列。

- 近似完全二叉树结构：堆可以被看作是一棵近似完全二叉树。除了最底层，其他层的节点都是满的，并且最底层的节点都尽量靠左排列。

堆序性质

- 最大堆(大根堆、大顶堆) ：在大堆中，任意节点的值都大于或等于其子节点的值。这意味着堆顶(根节点)元素是整个堆中的最大值。

- 最小堆(小根堆、小顶堆) ：在小堆中，任意节点的值都小于或等于其子节点的值。即堆顶元素是整个堆中的最小值。

2.建堆：

当我们有10个数据，该如何让它以二叉树的形式进行操作？

二叉树及建堆的详细介绍_堆_07

(1)向下调整建堆：

即不断调整父子节点顺序，让值大的作为父节点，值小的作为子节点。但如果我们从上往下调整，比如从1开始不断调整父子节点：

二叉树及建堆的详细介绍_堆_08

调整完第三次我们就会发现，值为9的节点并没有被调整到合适的位置？难道我们要再从根节点8调整一遍？每一次调整完都仍需要不断重复调整根节点？

这当然是不正确的。

向下调整建堆的前提条件是“下”部分已经是一个堆，那么就我们需要从最后一棵子树开始调整，让下面的部分先形成堆。

先找到最后一个节点的父节点，再不断向前，直到整棵树的根节点：

二叉树及建堆的详细介绍_数据结构_09

最终结果满足任意子节点值小于父节点：建堆完成。

有了逻辑开始实现代码(仅以int类型10个元素为例)：

#include<iostream>
using namespace std;

void Adjustdown(int* arr, int parent)
{
  //根据公式找到子节点下标
	int child = parent * 2 + 1;
  
	while (child < 10)
	{
    //如果有两个子节点，寻找到值更大的下标
    //注意：要先判断child+1与树大小的关系，防止越界访问
		if (child + 1 < 10 && arr[child + 1] > arr[child])
		{
			child = child + 1;
		}
  	//如果子节点更大，交换父子节点的值
		if (arr[parent] < arr[child])
		{
			int tmp = arr[parent];
			arr[parent] = arr[child];
			arr[child] = tmp;
		}
		else
		{
			break;
      //由于每次调整时"下部分树"已经是堆，所以当父节点>子节点时可直接结束
		}
    //更新父子节点，不断向下调整，直到指向叶节点
		parent = child;
		child = parent * 2 + 1;
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 1,6,8,9,7,0,2,3,4,5 };
  //计算最后一个节点对应的父节点
	int parent = (sizeof(arr)/sizeof(arr[0]) - 1 -1) / 2;
  //sizeof(arr)/sizeof(arr[0]) 元素个数-1是最后一个元素下标
  //再-1是公式中的-1： parent = (child-1)/2
	for (int i = parent; i >= 0; i --)
	{
		Adjustdown(arr, i);//依次将子树根节点的下标作为参数
	}
	for (auto e : arr)
	{
		cout << e << " ";
	}
}

(2)向上调整建堆

与向下调整建堆通过将节点向下调整形成堆一致，我们要将节点不断向上调整完成建堆过程。同样要满足：调整时“上部分”已经是堆，那么我们需要从上开始调整。

二叉树及建堆的详细介绍_堆_10

对之后的不满足父>子的节点继续操作，直到最后一个节点结束。

二叉树及建堆的详细介绍_建堆_11

如最右侧图所示：通过向上调整建堆得到了一个最大堆。

但是我们观察到，即使这与向下调整建堆得到的堆并不完全一致，但都有任意父节点 > 子节点。由此可以得出：不同建堆方法得到的堆可能不一致，但都它们都是堆(类似导数的原函数不唯一)。

二叉树及建堆的详细介绍_数据结构_12

代码实现：

void AdjustUp(int* arr,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
  //注意不能用parent>0作为判断条件
  //	parent = (child - 1) / 2;永远是大于0的
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] > arr[parent])//每个节点只有一个父节点，直接比较即可
		{
			int tmp = arr[child];
			arr[child] = arr[parent];
			arr[parent] = tmp;
		}
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 1,6,8,9,7,0,2,3,4,5 };
	for(int i =1;i<10;i++)
	{
		AdjustUp(arr, i);
	}
	for (auto e : arr)
	{
		cout << e << " ";
	}
}

总结：

1.调整方向

- 向上调整建堆：从最上的叶子节点开始，将每个节点与其父节点比较交换，直到根节点或满足堆的性质。

- 向下调整建堆：从最下的根节点开始，与它的左右子节点比较交换，不断向下调整，直到叶子节点或满足堆的性质。

2.时间复杂度(向下调整建堆更优)

-向上：O(N*logN)

-向下：O(N)

原因：二叉树最后一层占了几乎一半节点，从下向上调整节点数少，次数少，而从上向下，最后每个节点都要处理，调整次数多(不具体证明了)

3.适用场景

- 向上调整建堆：适合在不断插入元素的过程中构建堆，例如在优先队列中，每次插入一个元素后，可以通过向上调整来维护堆的性质。

- 向下调整建堆：适合在已经有一个无序数组的情况下构建堆，通过从最后一个非叶子节点开始向下调整，可以快速将数组调整为堆。

3.堆的插入删除逻辑：

由于堆的结构，当我们插入删除时需要考虑：删哪个？怎么删？删完怎么调整？怎么调整插入数据？

(1)删除：

尾删不用过多考虑，而头删呢？在数组中直接挪动数据吗？这不可取：效率低下，且整个树的父子关系全乱了。那我们要不断找出子节点，选出大的那个往上挪动？理论可行，但与其这样，我们可以考虑一种更直接的方法：将根节点和最后一个节点交换，,让整个数组大小减1，在通过向下调整建堆将其调整到合适位置(首尾交换，向下调整)

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