目录
一、树
1. 概述
- 与线性表表示的一一对应的线性关系不同，树表示的是更为复杂的数据元素之间的非线性关系。
- 直观来看，树是以分支关系定义的层次结构，是 一对多 的关系
- 树的定义：树 (Tree) 是 n( n>=0 ) 个结点的有限集合
- 有且仅有一个 根结点 (Root)
- 当n>1的时，其余结点可分为 m( m>0 ) 个互不相交的有限集T1，T2，…, Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称之为根的子树。
树的定义本身是一个递归定义，即在树的定义中又用到树的概念
2. 一些基本术语
- 树的结点：包含一个数据元素和若干指向其子树的分支
- 度（degree）：结点拥有的子树的数目
- 度为** 0 的结点称为 叶子**，或** 终端结点**。度不为** 0** 的结点称为 非终端结点 或 分支节点
- 结点的子树的根，称为该结点的 孩子（child），相应的该结点称为孩子的 双亲（parent）
- 同一个双亲的孩子之间互称兄弟（sibling）
- 结点的 祖先 是从根到该结点所经分支上所有的结点。
- 以某结点为根的子树中的任意一结点都称为该结点的 子孙
- 结点的 层次（Level）从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推
- 树中结点的最大层次称为树的 深度（depth）或 高度
二、二叉树
1. 概述
-
定义：对一般的树加了约束：
-
每个结点最多两棵子树，即二叉树中不存在 度大于2 的结点
-
子树有 左右次序 之分
-
有 5 种形态：
- 满二叉树和完全二叉树（对满二叉树最底层，从右至左删除结点）
2. 重要特性
- 二叉树，在第 i 层至多有 2i-1 个结点
- 深度为 k 的二叉树至多有 2k-1 个结点
- 高度（或深度）为 K 的完全二叉树至少有 2k-2 个 叶子结点
- 非空二叉树的 叶子结点数 等于度为 2 的结点数加 1，即：
n0 = n2 + 1
完全二叉树的 n1 只能是 0 或者 1
- 一颗度为 m 的二叉树，度为 1 的结点为 n1，度为 2 的结点为 n2，… …，度为 m 的结点数为 nm，则叶子结点数：n0**= 1 + n2****+ 2n3****+…+ (m-1)nm**
- 具有 n 个结点的完全二叉树，深度为 log2n + 1
- 编号性质：n 个结点的完全二叉树（其深度为 log2n + 1），对各结点从上到下，从左到右依次编号（1~n）则：若 i 是某结点 a 的编号：
- 如果 i 不等于 1，则 a 的双亲结点的编号为： ⌊ i/2 ⌋
- 如果 2i ≤ n, 则 a 的左孩子编号为 2i；如果** 2i > n**, 则 a** 无左孩子**；
- 如果** 2i + 1 ≤ n**, 则 a 的右孩子编号为** 2i + 1**；如果** 2i + 1> n**, 则 a** 无右孩子**；
三、二叉树的存储结构
1. 顺序存储
- 用 数组 来存储数据元素
- 从存储的角度来看，这种顺序存储结构，仅适用于 完全二叉树
因为在最坏的情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树( 树中不存在度为 2 的结点 )，却需要长度为 2k-1 的一维数组。
2. 链式存储
- 以 链表 的形式，存储数据元素以及数据元素之间的关系。
四、二叉树的遍历
1. 由遍历序列确定二叉树
- 由 先序和中序，可以确定
- 由 后序和中序，可以确定（但是注意后序最后一个为根，下一个是右子树根）
- 由 层次和中序，可以确定
2. 根据遍历序列估计二叉树
- 前序 遍历序列 和 后序 遍历序列 相同 的树：只有根结点
- 前序 遍历 和 中序 遍历 相同 的二叉树：所有结点没有左子树（右单分支树
- 中序 遍历 和 后序 遍历 相同 的二叉树：所有结点没有右子树（左单分支树）
- 前序遍历 和 后序 遍历 相反 的二叉树：没有左子树或者没有右子树（只有一个叶子结点）高度等于其结点数
- 前序 遍历 和 中序 遍历 相反 的二叉树：所有结点没有右子树（左单分支树）
- 中序 遍历 和 后序 遍历 相反 的二叉树：所有结点没有左子树（右单分支树）
3. 遍历和建树代码
- 二叉树的建树
- 深度优先遍历（先序，中序和后序）
- 广度优先遍历（先序，后序）
/* BitTree.java */
package com.java.tree;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
/**
* Created by Jaco.Young.
* 2018-06-13 18:26
*/
public class BitTree {
//代表由先序和中序唯一确定的树的根结点
private TreeNode root;
/**
* 提供给外部调用的方法
* 字符数组pre表示先序遍历序列，mid表示中序遍历序列
*/
public void build(char[] pre, char[] mid){
//将创建树的根结点赋值给 root
root = buildTree(pre,0, pre.length-1, mid, 0, mid.length-1);
}
/**
* 前提条件，树中不存在重复元素
* 由先序遍历序列和中序遍历序列，构造二叉树的方法
* 我们建树的过程总是将序列不断地分割成左子树、右子树
* lPre、rPre和lMid、rMid，分别就表示要对先序和中序的哪一部分进行建树
*/
private TreeNode buildTree(char[] pre, int lPre, int rPre, char[] mid, int lMid, int rMid){
//在先序遍历序列中，找到当前这棵树的根结点
char root = pre[lPre];
//在中序遍历序列中，根据先序中的根结点来查找在中序中的位置
int rootIndex = getRootIndex(mid, lMid, rMid, root);
//如果没有找到，说明所给的参数异常
if(rootIndex == -1){
throw new IllegalArgumentException("Illegal Argument!");
}
//计算当前这棵树，左右子树的个数
//整个中序序列：[左子树(lMid) root(rootIndex) 右子树(rMid)]
//左子树[lMid,rootIndex-1]
int lNum = rootIndex - lMid; //rootIndex-1 -lMid + 1
//右子树[rootIndex+1,rMid]
int rNum = rMid - rootIndex; //rMid - (rootIndex + 1) + 1
//开始构建当前根结点的左子树和右子树
//先构建左子树
TreeNode lchild; //作为左子树的根结点
//以当前结点为根的树，没有左子树
if(lNum == 0){
lchild = null;
}else{
//当前这个树的左子树，仍然是一棵树，递归构造这棵树的左子树
//设x为当前树先序中左子树最后一个元素的下标，则：x - (lpre + 1) = lNum
//得：x = lPre + lNum
lchild = buildTree(pre, lPre + 1, lPre+lNum, mid, lMid, rootIndex - 1);
}
//构建右子树
TreeNode rchild;
if(rNum == 0){
rchild = null;
}else{
//当前结点的右子树，仍然包含很多节点，需要递归的构造其右子树
rchild = buildTree(pre, lPre + lNum + 1, rPre, mid, rootIndex + 1, rMid);
}
//构造完整的二叉树
return new TreeNode(root,lchild,rchild);
}
//在中序遍历序列中，根据先序中的根结点来查找在中序中的位置
private int getRootIndex(char[] mid, int lMid, int rMid, char root) {
for(int i = lMid; i <= rMid; i++){
if(mid[i] == root){
return i;
}
}
return -1;
}
//二叉树每一个结点的结构
private class TreeNode{
//结点中存储的数据
char item;
//指向左孩子结点
TreeNode lChild;
//指向右孩子结点
TreeNode rChild;
//构造方法,完成初始化
public TreeNode(char item, TreeNode lChild, TreeNode rChild){
this.item = item;
this.lChild = lChild;
this.rChild = rChild;
}
}
//提供三个让外界调用的方法
public void preTraverse() {
preOrder(root);
}
public void midTraverse() {
midOrder(root);
}
public void postTraverse() {
postOrder(root);
}
//先序遍历 DLR
private void preOrder(TreeNode root) {
if( root != null) {
//先访问根节点
System.out.print(root.item + " ");
//递归访问左子树
preOrder(root.lChild);
//递归访问右子树
preOrder(root.rChild);
}
}
//中序遍历 LDR
private void midOrder(TreeNode root) {
if(root != null) {
//递归访问左子树
midOrder(root.lChild);
//访问根
System.out.print(root.item + " ");
//递归访问右子树
midOrder(root.rChild);
}
}
//后续遍历
// LRD
private void postOrder(TreeNode root) {
if(root != null) {
//递归访问左子树
postOrder(root.lChild);
//递归访问右子树
postOrder(root.rChild);
//访问根
System.out.print(root.item + " ");
}
}
//广度优先遍历 BFS
public void BFS() {
//创建一个能放TreeNode对象的队列
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
//将树的根节点入队列
queue.add(root);
//循环执行广度优先遍历
while(!queue.isEmpty()) {
//将当前的队头元素出队列
TreeNode node = queue.remove();
//访问出队列的节点
System.out.print(node.item + " ");
//出队列的节点是否有左孩子，有则将其左孩子入队列
if(node.lChild != null) {
//有左孩子
queue.add(node.lChild);
}
//出队列的节点是否有右孩子，如果右，将其右孩子如队列
if(node.rChild != null) {
queue.add(node.rChild);
}
}
}
}
/* Test.java*/
package com.java.tree;
/**
* 测试类
* Created by Jaco.Young.
* 2018-06-13 20:16
*/
public class Test {
public static void main(String[] args){
//构造先序遍历序列和中序遍历序列
char[] pre = {'A','B','E', 'K', 'L', 'F', 'D', 'H', 'J'};
char[] mid = {'K', 'E', 'L', 'B', 'F', 'A', 'H', 'D', 'J'};
BitTree bitTree = new BitTree();
//根据遍历序列构建二叉树
bitTree.build(pre, mid);
//先序遍历
bitTree.preTraverse();
System.out.println();
//中序遍历
bitTree.midTraverse();
System.out.println();
//后序遍历
bitTree.postTraverse();
System.out.println();
//广度优先遍历
bitTree.BFS();
}
}
运行结果为：
A B E K L F D H J
K E L B F A H D J
K L E F B H J D A
A B D E F H J K L
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